Question

【題目】如圖，拋物線y=ax2﹣ x﹣2（a≠）的圖象與x軸交于A、B兩點，與y軸交于C點，已知B點坐標為（4，0）．

（1）求拋物線的解析式；
（2）若點M是線段BC下方的拋物線上一點，求△MBC的面積的最大值，并求出此時M點的坐標；
（3）試探究：△ABC的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標．

Answer 1

【答案】
（1）

解：將B（4，0）代入拋物線的解析式中，得：

0=16a﹣ ×4﹣2，即：a= ；

∴拋物線的解析式為：y= x2﹣ x﹣2

（2）

解：可得：B（4，0）、C（0，﹣2），設直線BC的解析式為：y=kx+b，

則 ，

解得：

故直線BC的解析式為：y=x﹣2；

設xM=t，則yM= t2﹣ t﹣2，yN= t﹣2，

S△MBC=S△CME+S△BEM= EMON+ EMBN= EMOB

= （ t﹣2﹣ t2+ t+2）×4

=﹣t2+4t

=﹣（t﹣2）2+4，

∴當t=2時，S△MBC=最大值為4，此時M（2，﹣3）

（3）

解：由（1）的函數解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）；

∴OA=1，OC=2，OB=4，

即：OC2=OAOB，

又∵OC⊥AB，

∴△OAC∽△OCB，

∴∠OCA=∠OBC；

∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°，

∴△ABC為直角三角形，AB為△ABC外接圓的直徑；

∴該外接圓的圓心為AB的中點，且坐標為（1.5，0）．

【解析】（1）該函數解析式只有一個待定系數，只需將B點坐標代入解析式中即可．（2）利用過點M作y軸的平行線，再利用S△MBC=S△CME+S△BEM得出二次函數最值得出答案；（3）首先根據拋物線的解析式確定A點坐標，然后通過證明△ABC是直角三角形來推導出直徑AB和圓心的位置，由此確定圓心坐標．
【考點精析】本題主要考查了確定一次函數的表達式和二次函數的最值的相關知識點，需要掌握確定一個一次函數，需要確定一次函數定義式y=kx+b（k不等于0）中的常數k和b．解這類問題的一般方法是待定系數法；如果自變量的取值范圍是全體實數，那么函數在頂點處取得最大值（或最小值），即當x=-b/2a時，y最值=(4ac-b2)/4a才能正確解答此題．