Question

如圖所示，點B坐標為（6，0），點A坐標為（6，12），動點P從點O開始沿OB以每秒1個單位長度的速度向點B移動，動點Q從點B開始沿BA以每秒2個單位長度的速度向點A移動．如果P、Q分別從O、B同時出發，用t（秒）表示移動的時間（0＜t≤6），那么，
（1）當t為何值時，四邊形OPQA是梯形，此時梯形OPQA的面積是多少？
（2）當t為何值時，以點P、B、Q為頂點的三角形與△AOB相似？
（3）若設四邊形OPQA的面積為y，試寫出y與t的函數關系式，并求出t取何值時，四邊形OPQA的面積最小？
（4）在y軸上是否存在點E，使點P、Q在移動過程中，以B、Q、E、P為頂點的四邊形的面積是一個常數？若存在請求出點E的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當PQ∥OA，四邊形OPQA是梯形，根據平行線分線段成比例得到BP：BO=BQ：BA，即（6-t）：6=2t：12，即可得到t，利用梯形OPQA的面積=△OAB的面積-△PBQ的面積求面積；
（2）討論：當∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，由（1）得t=3；當∠BPQ=∠A，則Rt△BPQ∽Rt△BAO，BP：BA=BQ：BO，即（6-t）：12=2t：6，即可得到t；
（3）利用y=S_△OAB-S_△BPQ=

1

2

×6×12-

1

2

×2t×（6-t），然后配成頂點式即可得到答案；
（4）利用以B、Q、E、P為頂點的四邊形的面積=梯形BQEO的面積-△OPE的面積，用t與m表示出來為

1

2

×6×（m+2t）-

1

2

×m×t，變形得到（6-

1

2

m）t+3m，當t的系數為0時即可得到m的值．

解答：解：OP=t，PB=6-t，BQ=2t，
（1）當PQ∥OA，四邊形OPQA是梯形，
∴BP：BO=BQ：BA，即（6-t）：6=2t：12，
∴t=3，
∴PB=3，BQ=6，
∴梯形OPQA的面積=△OAB的面積-△PBQ的面積=

1

2

×6×12-

1

2

×3×6=27，
所以當t=3時，四邊形OPQA是梯形，此時梯形OPQA的面積為27；

（2）當∠BPQ=∠BOA，即PQ∥OA，Rt△BPQ∽Rt△BOA，
由（1）得t=3，
當∠BPQ=∠A，則Rt△BPQ∽Rt△BAO，
∴BP：BA=BQ：BO，即（6-t）：12=2t：6，
∴t=

6

5

，
所以當t=

6

5

秒或3秒時，以點P、Q、B為頂點的三角形與△AOB相似；

（3）存在．
y=S_△OAB-S_△BPQ=

1

2

×6×12-

1

2

×2t×（6-t）
=t²-6t+36
=（t-3）²+27，
∵a=1，
∴t=3時，y有最小值27，
所以當t=3秒時，四邊形OPQA的面積最小；

（4）存在．
當E在y軸的負半軸上時，以B、Q、E、P為頂點不能形成四邊形，
則點E在y軸的正半軸上時，
設E（0，m），
所以以B、Q、E、P為頂點的四邊形的面積=梯形BQEO的面積-△OPE的面積=

1

2

×6×（m+2t）-

1

2

×m×t
=（6-

1

2

m）t+3m，
當以B、Q、E、P為頂點的四邊形的面積是一個常數，則6-

1

2

m=0，解得m=12，
所以點E的坐標為（0，12）．

點評：本題考查了三角形相似的判定與性質：兩組對應角相等的三角形相似；相似三角形的對應邊的比相等．也考查了分類討論思想的運用以及三角形的面積公式．