Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A（3，0），B（﹣1，0），與y軸交于點C．

（1）求拋物線的解析式；

（2）點P是直線AC上方的拋物線上一動點（異于點A、C），連接BC，AC，PA，PB，PB與AC交于點D，設點P的橫坐標為m．

①若△CBD，△DAP的面積分別為S1和S2，當S1﹣S2最小時，求點P的坐標；

②過點P作x軸的垂線，交AC于點E．以原點O為旋轉中心，將線段PE順時針旋轉90°，得到線段P′E′．當線段P′E′與直線PE有交點時，設交點為F，求交點F的路徑長．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+2x+3；（2）①P（1，4）；②.

【解析】

（1）設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣3）（x+1），利用待定系數法求二次函數解析式解答即可；

（2）①求直線AC的解析式,然后分別表示出 兩個三角形的面積,然后求S1﹣S2的解析式,從而求最小值,最后確定點P坐標;

②根據旋轉的性質求線段P′E′與直線PE有交點時，m的取值范圍，從而求解．

解：（1）∵拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點A（3，0），B（﹣1，0）

∴設拋物線的表達式為：y＝a（x﹣3）（x+1）＝a（x2﹣2x﹣3），

將(0,3)代入得,﹣3a＝3，解得：a＝﹣1，

∴拋物線的表達式為：y＝﹣x2+2x+3；

（2）設 ,將點A(3,0)、C（0，3）的坐標代入一次函數表達式得： ,解得

∴直線AC的表達式為：y＝﹣x+3，

設點P（m，﹣m2+2m+3），則點E（m，﹣m+3），

①S1﹣S2＝S△BAC﹣S△BAP＝×AB×（3+m2﹣2m﹣3）＝2（m2﹣2m）=，

∴當m＝1時，S1﹣S2最小，此時點P（1，4）；

②將線段PE順時針旋轉90°，得到線段P′E′，

則點E′、P′的坐標分別為：（﹣m+3，﹣m）、（﹣m2+2m+3，﹣m），

當線段P′E′與直線PE有交點時，即點F在E′P′之間，

即﹣m+3≤m≤﹣m2+2m+3，

解得：≤m≤，

故交點F的路徑長為：﹣＝．