Question

【題目】已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O交BC于點D，過點D作DE⊥AC于點E．

（1）求證：DE是⊙O的切線．

（2）若⊙O的半徑為3cm，∠C＝30°，求圖中陰影部分的面積．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）（3π﹣）cm2

【解析】

（1）由等腰三角形的性質證出∠ODB＝∠C．得出OD∥AC．由已知條件證出DE⊥OD，即可得出結論；

（2）由垂徑定理求出OF，由勾股定理得出DF，求出BD，得出△BOD的面積，再求出扇形BOD的面積，即可得出結果．

（1）連接OD，如圖1所示：

∵OD＝OB，

∴∠B＝∠ODB．

∵AB＝AC，

∴∠B＝∠C．

∴∠ODB＝∠C．

∴OD∥AC．

∵DE⊥AC，

∴DE⊥OD，

∴DE是⊙O的切線．

（2）過O作OF⊥BD于F，如圖2所示：

∵∠C＝30°，AB＝AC，OB＝OD，

∴∠OBD＝∠ODB＝∠C＝30°，

∴∠BOD＝120°，

在Rt△DFO中，∠FDO＝30°，

∴OF＝OD＝cm，

∴DF＝＝cm，

∴BD＝2DF＝3cm，

∴S△BOD＝×BD×OF＝×3×＝cm2，

S扇形BOD＝＝3πcm2，

∴S陰＝S扇形BOD﹣S△BOD＝＝（3π﹣）cm2．