Question

【題目】如圖，二次函數 (a 0) 與 x 軸交于 A、C 兩點，與 y 軸交于點 B，P 為 拋物線的頂點，連接 AB，已知 OA：OC=1:3.

（1）求 A、C 兩點坐標；

（2）過點 B 作 BD∥x 軸交拋物線于 D，過點 P 作 PE∥AB 交 x 軸于 E，連接 DE，

①求 E 坐標；

②若 tan∠BPM=，求拋物線的解析式．

Answer 1

【答案】（1）A（-1，0），C（3，0）；（2）① E（-，0）；②原函數解析式為：．

【解析】

(1)由二次函數的解析式可求出對稱軸為x=1，過點P作PE⊥x軸于點E,所以設A（-m，0），C（3m，0），結合對稱軸即可求出結果；

(2) ①過點P作PM⊥x軸于點M，連接PE，DE，先證明△ABO△EPM得到，找出OE=，再根據A（-1，0）代入解析式得：3a+c=0，c=-3a，即可求出OE的長，則坐標即可找到；

②設PM交BD于點N；根據點P（1，c-a），BN‖AC，PM⊥x軸表示出PN=-a，再由tan∠BPM=求出a，結合（1）知道c，即可知道函數解析式．

（1）∵二次函數為：(a<0)，

∴對稱軸為，

過點P作PM⊥x軸于點M，

則M（1，0），M為AC中點，

又OA：OC=1：3，

設A（-m，0），C（3m，0），

∴，

解得：m=1，

∴A（-1，0），C（3，0），

（2）①做圖如下：

∵PE∥AB，

∴∠BAO=∠PEM，

又∠AOB=∠EMP，

∴△ABO△EPM，

∴ ，

由（1）知：A（-1，0），C（3，0），M（1，0），B（0，c），P（1，c-a），

∴，

∴OE=，

將A（-1，0）代入解析式得：3a+c=0，

∴c=-3a，

∴ ，

∴E（-，0）；

②

設PM交BD于點N；

∵(a<0)，

∴x=1時，y=c-a，即點P（1，c-a），

∵BN‖AC，PM⊥x軸

∴NM= BO=c，BN=OM=1，

∴PN=-a，

∵tan∠BPM=，

∴tan∠BPM=，

∴PN=，

即a=-，

由（1）知c=-3a，

∴c=；

∴原函數解析式為：．