Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AB=10，AD=6，點M為AB上的一動點，將矩形ABCD沿某一直線對折，使點C與點M重合，該直線與AB（或BC）、CD（或DA）分別交于點P、Q

（1）用直尺和圓規在圖甲中畫出折痕所在直線（不要求寫畫法，但要求保留作圖痕跡）
（2）如果PQ與AB、CD都相交，試判斷△MPQ的形狀并證明你的結論；
（3）設AM=x，d為點M到直線PQ的距離，y=d2 ，
①求y關于x的函數解析式，并指出x的取值范圍；
②當直線PQ恰好通過點D時，求點M到直線PQ的距離．

Answer 1

【答案】
（1）

解：如圖1所示：

（2）

解：△MPQ是等腰三角形；理由如下：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AB∥CD，CD=AB=10，

∴∠QCO=∠PMO，

由折疊的性質得：PQ是CM的垂直平分線，

∴CQ=MQ，OC=OM，

在△OCQ和△OMP中， ，

∴△OCQ≌△OMP（ASA），

∴CQ=MP，

∴MP=MQ，

即△MPQ是等腰三角形

（3）

解：①作MN⊥CD于N，如圖2所示：

則MN=AD=6，DN=AM=x，CN=10﹣x，

在Rt△MCN中，由勾股定理得：CM2=MN2+CN2，

即（2d）2=62+（10﹣x）2，

整理得：d2= x2﹣5x+34，

即y= x2﹣5x+34（0≤x≤10）；

②當直線PQ恰好通過點D時，如圖3所示：

則Q與D重合，DM=DC=10，

在Rt△ADM中，AM= =8，

∴BM=10﹣8=2，

∴CM= = =2 ，

∴d= CM= ，

即點M到直線PQ的距離為 ．

【解析】（1）作線段CM的垂直平分線即可；（2）由矩形的性質得出AB∥CD，CD=AB=10，得出∠QCO=∠PMO，由折疊的性質得出PQ是CM的垂直平分線，由線段垂直平分線的性質得出CQ=MQ，由ASA證明△OCQ≌△OMP，得出CQ=MP，得出MP=MQ即可；（3）①作MN⊥CD于N，如圖2所示：則MN=AD=6，DN=AM=x，CN=10﹣x，在Rt△MCN中，由勾股定理得出（2d）2=62+（10﹣x）2 ， 即可得出結果；②當直線PQ恰好通過點D時，Q與D重合，DM=DC=10，由勾股定理求出AM，得出BM，再由勾股定理求出CM，即可得出結果．本題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質、折疊的性質、線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質、等腰三角形的判定、勾股定理等知識；本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等和運用勾股定理是解決問題的關鍵．