Question

【題目】（知識生成）

我們已經知道，通過不同的方法表示同一圖形的面積，可以探求相應的等式．

2002年8月在北京召開了國際數學大會，大會會標如圖1所示，它是由四個形狀大小完全相同的直角三角形與中間的小正方形拼成的一個大正方形，直角三角形的兩條直角邊長分別為a、b （ a<b ），斜邊長為c．

（1）圖中陰影部分的面積用兩種方法可分別表示為　 　 、　 　 ；

（2）你能得出的a，b，c之間的數量關系是　 　 （等號兩邊需化為最簡形式）；

（3）一直角三角形的兩條直角邊長為6和8，則其斜邊長為　 　 ．

（知識遷移）

通過不同的方法表示同一幾何體的體積，也可以探求相應的等式．如圖2是邊長為a+b的正方體，被如圖所示的分割線分成8塊．

（4）用不同方法計算這個正方體體積，就可以得到一個等式，這個等式可以為　 　 ．（等號兩邊需化為最簡形式）

（5）已知a+b＝3，ab＝1，利用上面的規律求a3+b3的值．

Answer 1

【答案】（1）c2﹣2ab，（b﹣a）2；（2）a2+b2＝c2；（3）10；（4）（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；（5）a3+b3＝18．

【解析】

（1）求出圖形的各個部分的面積，即可得出答案；
（2）根據（1）的結果，即可得出答案；
（3）代入求出即可；
（4）求出大正方體的條件和各個部分的體積，即可得出答案；
（5）代入（4）中的等式求出即可．

解：

（1）答案為：c2﹣2ab，（b﹣a）2；

（2）答案為：a2+b2＝c2；

（3）答案為：10；

（4）圖形的體積為（a+b）3或a3+b3+a2b+a2b+a2b+ab2+ab2+ab2，

即（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，

故答案為：（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2；

（5）∵a+b＝3，ab＝1，（a+b）3＝a3+b3+3a2b+3ab2，＝a3+b3+3ab（a+b）

∴33＝a3+b3+3×1×3，

解得：a3+b3＝18．