Question

【題目】學之道在于悟．希望同學們在問題（1）解決過程中有所悟，再繼續探索研究問題（2）．
（1）如圖①，∠B=∠C，BD=CE，AB=DC． ①求證：△ADE為等腰三角形．
②若∠B=60°，求證：△ADE為等邊三角形．

（2）如圖②，射線AM與BN，MA⊥AB，NB⊥AB，點P是AB上一點，在射線AM與BN上分別作點C、點 D 滿足：△CPD為等腰直角三角形．（要求：利用直尺與圓規，不寫作法，保留作圖痕跡）

Answer 1

【答案】
（1）解：①證明：∵∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，

∴△ABD≌DCE，

∴AB=DC，

∴△ADE為等腰三角形；

②∵△ABD≌△DCE，

∴∠BAD=∠CDE，

∵∠ADC是△ABD的外角，

∴∠ADC=∠B+∠BAD，

∵∠ADC=∠ADE+∠EDC，

又∵∠BAD=∠CDE．

∴∠ADE=∠B=60°，

∴等腰△ADE為等邊三角形．

（2）解：有三種結果，如圖所示：

【解析】（1）①先根據∠B=∠C，BD=CE，AB=DC，判定△ABD≌DCE，得出AB=DC，進而得到△ADE為等腰三角形；②根據△ABD≌△DCE，得出∠BAD=∠CDE，再根據∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，得到∠ADE=∠B=60°，最后判定等腰△ADE為等邊三角形；（2）分三種情況討論：∠CPD為直角頂點；∠PCD是直角頂點；∠PDC是直角頂點，分別進行畫圖即可．第一種情況：使得AP=BD，BP=AC；第二種情況：使得AC=AB，CE=AP，BD=AE；第三種情況：使得BD=AB，DF=BP，AC=BF．
【考點精析】根據題目的已知條件，利用等腰直角三角形和等腰三角形的判定的相關知識可以得到問題的答案，需要掌握等腰直角三角形是兩條直角邊相等的直角三角形；等腰直角三角形的兩個底角相等且等于45°；如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱：等角對等邊）．這個判定定理常用于證明同一個三角形中的邊相等．