Question

【題目】根據要求回答問題：
（1）【提出問題】
已知：菱形ABCD的變長為4，∠ADC=60°，△PEF為等邊三角形，當點P與點D重合，點E在對角線AC上時（如圖1所示），求AE+AF的值；

（2）【類比探究】
在上面的問題中，如果把點P沿DA方向移動，使PD=1，其余條件不變（如圖2），你能發現AE+AF的值是多少？請直接寫出你的結論；

（3）【拓展遷移】
在原問題中，當點P在線段DA的延長線上，點E在CA的延長線上時（如圖3），設AP=m，則線段AE、AF的長與m有怎樣的數量關系？請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：如圖1，

，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴PA=PC，

∵∠ADC=60°，

∴△ACD是等邊三角形，

∴AC=AD=4，

又∵△PEF為等邊三角形，

∴∠ADC=∠EPF=60°，

∴∠APF=∠CPE，

在△APF和△CPE中，

∴△APF≌△CPE，

∴CE=AF，

∴AE+AF=AE+CE=AC=4，

即AE+AF的值是4．

（2）解：如圖2，點G是AC上的一點，且滿足CG=PD=1，

，

∵CG=PD，AC=AD，

∴AG=AP，

∴ ，

∴GP∥CD，

∴∠GPA=∠CDA=60°，

又∵EPF=60°，

∴∠APF=∠GPE，

在△APF和△GPE中，

∴△APF≌△GPE，

∴GE=AF，

∴AE+AF=AE+GE=AG=AC﹣CG=4﹣1=3，

即AE+AF的值是3

（3）解：如圖3，作PH∥CD交CE于點H，

，

由（1），可得△ACD是等邊三角形，

∵PH∥CD，

∴△AHP∽△ACD，

∴△AHP是等邊三角形，

∴PA=PH，∠APH=∠EPF=60°，

∴∠FPA=∠EPH，

在△APF和△HPE中，

∴△APF≌△HPE，

∴AF=HE，

又∵PA=AH，

∴AE=PA+AF，

∴AE﹣AF=m．

【解析】（1）首先判斷出△ACD是等邊三角形，即可判斷出AC=AD=4；然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△APF≌△CPE，即可判斷出CE=AF，據此求出AE+AF的值是多少即可．（2）首先取AC上的點G，使得CG=PD=1，判斷出GP∥CD，即可判斷出∠APF=∠GPE；然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△APF≌△GPE，即可判斷出GE=AF，據此求出AE+AF的值是多少即可．（3）首先作PH∥CD交CE于點H，判斷出△AHP∽△ACD，即可判斷出△AHP是等邊三角形；然后根據全等三角形判定的方法，判斷出△APF≌△HPE，即可判斷出AF=HE，再根據PA=AH，可得AE=PA+AF，所以AE﹣AF=m，據此解答即可．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解全等三角形的性質的相關知識，掌握全等三角形的對應邊相等; 全等三角形的對應角相等，以及對菱形的性質的理解，了解菱形的四條邊都相等；菱形的對角線互相垂直，并且每一條對角線平分一組對角；菱形被兩條對角線分成四個全等的直角三角形；菱形的面積等于兩條對角線長的積的一半．