Question

【題目】已知正方形ABCD中，AB＝6，點P是射線BC上的一動點，過點P作PE⊥PA交直線CD于E，連AE．

（1）如圖1，若BP＝2，求DE的長；

（2）如圖2，若AP平分∠BAE，連PD，求tan∠DPE的值；

（3）直線PD，AE交于點F，若BC＝4PC，則＝　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）或

【解析】

（1）證明△ABP∽△PCE，可以解決問題；

（2）如圖2，過P作PQ⊥AE于Q，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得BP＝PQ＝PC＝3，根據(jù)△ABP∽△PCE，得CE＝1，DE＝5，根據(jù)對角互補的四邊形是圓內(nèi)接四邊形，得∠DAE＝∠DPE，由等角的三角函數(shù)可得結(jié)論；

（3）分兩種情況：①當(dāng)P在線段BC上時，如圖3，過E作EG∥PC，交PD于G，

②當(dāng)P在射線BC上時，過E作EQ∥AD，交DF于Q；證明兩三角形相似，列比例式可得結(jié)論．

解：（1）如圖1，∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB＝CD＝BC＝AD＝6，∠B＝∠C＝∠D＝90°，

∵BP＝2，

∴PC＝4，

∵AP⊥PE，

∴∠APE＝∠APB+∠CPE＝90°，

∵∠APB+∠BAP＝90°，

∴∠BAP＝∠CPE，

∴△ABP∽△PCE，

∴，即

∴CE＝，

∴DE＝CD﹣CE＝6﹣＝；

（2）如圖2，過P作PQ⊥AE于Q，

∵AP平分∠BAE，∠B＝90°，

∴BP＝PQ，

∵∠APE＝∠B＝90°，∠BAP＝∠PAE，

∴∠APB＝∠AEP＝∠PEC，

∵∠C＝90°，

∴PC＝PQ＝BP＝BC＝3，

由（1）得：△ABP∽△PCE，

∴，即

∴CE＝1，

∴DE＝CD﹣CE＝5，

∵∠ADC+∠APE＝180°，

∴A、D、E、P四點共圓，

∴∠DAE＝∠DPE，

∴tan∠DPE＝tan∠DAE＝；

（3）分兩種情況：

①當(dāng)P在線段BC上時，如圖3，過E作EG∥PC，交PD于G，

∵BC＝4PC，BC＝6，

∴BP＝，PC＝，

由（1）知：DE＝，

∵EG∥PC，

∴△DGE∽△DPC，

∴，即，

∴EG＝，

∵AD∥PC，

∴AD∥EG，

∴△AFD∽△EFG，

∴＝；

②當(dāng)P在射線BC上時，如圖4，

∵BC＝4PC，BC＝6，

∴PC＝，

∴BP＝BC+CP＝，

∵∠APB+∠BPE＝∠BPE+∠CEP＝90°，

∴∠APB＝∠CEP，

∴∠B＝∠ECP＝90°，

∴△ABP∽△PCE，

∴，即

∴CE＝，

過E作EQ∥AD，交DF于Q，

∵EQ∥CP，

∴△DCP∽△DEQ，

∴，即

∴EQ＝，

∵EQ∥AD，

∴△EQF∽△ADF，

∴．

綜上所述，則＝或；

故答案為：或．