Question

【題目】已知拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（0,2）。

（1）若點(diǎn)（-，0）也在該拋物線上，求a，b滿足的關(guān)系式；

（2）若點(diǎn)A為拋物線頂點(diǎn)，且拋物線過點(diǎn)（1,1）。

①求拋物線的解析式；

②若點(diǎn)M是拋物線上異于點(diǎn)A的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，直線MP交拋物線與另一個(gè)點(diǎn)N，點(diǎn)N’是拋物線上點(diǎn)N關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，直線PN’與拋物線交于點(diǎn)E，求證：直線EN恒過點(diǎn)O。

Answer 1

【答案】（1）3a-b=-2；（2）①y=-+2，②見解析

【解析】

（1）由拋物線經(jīng)過點(diǎn)A可求出c=2，再代入（-，0）即可找出3a-b=-2（a≠0）；

（2）由A點(diǎn)為拋物線的頂點(diǎn)，可設(shè)y=ax2+2，把（1，1）代入求出a的值即可；

（3）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，m2+2）求出直線PM的解析式，與拋物線方程聯(lián)立，求出N點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)M點(diǎn)與E點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱求出E點(diǎn)坐標(biāo)，從而求出直線EN的解析式，判斷當(dāng)x=0時(shí)，y=0即可.

（1）∵拋物線y=ax2+bx+c過點(diǎn)A（0，2），

∴c=2．

又∵點(diǎn)（-，0）也在該拋物線上，

∴a（-）2+b（-）+c=0，

∴3a-b+2=0（a≠0）．

即3a-b=-2；

（2）∵點(diǎn)A（0，2）是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，

∴設(shè)，

∵函數(shù)的圖象經(jīng)過（1，1）

∴1=a+2，解得，a=-1，

∴拋物線的解析式為：

（3）設(shè)M點(diǎn)的坐標(biāo)為（m，-m2+2）(m＜0），

設(shè)直線PM的解析式為：

∵點(diǎn)P與點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)A對(duì)稱，A（0，2），

∴P（0，4），

∴，

解得，，

∴直線PM的解析式為：，

聯(lián)立方程組得，

解得，，，

∴N（，）.

∵M點(diǎn)與E點(diǎn)關(guān)于y軸對(duì)稱,

∴E(-m，-m2+2)

設(shè)直線NE的解析式為：，

將N點(diǎn)、E點(diǎn)坐標(biāo)代入得，，解得，

∴直線EN的解析式為：

∴當(dāng)x=0時(shí)，y=0，

∴直線EN恒過點(diǎn)O.