Question

【題目】如圖，△ABC中，∠A=90°，AB=AC=4，D是BC邊上一點(diǎn)，將點(diǎn)D繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到點(diǎn)E，連接CE.

(1)當(dāng)點(diǎn)E在BC邊上時(shí),畫(huà)出圖形并求出∠BAD的度數(shù)；

(2)當(dāng)△CDE為等腰三角形時(shí)，求∠BAD的度數(shù)；

(3)在點(diǎn)D的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，求CE的最小值.

(參考數(shù)值:sin75°=， cos75°=，tan75°=)

Answer 1

【答案】（1）∠BAD=15°；（2）∠BAC=45°或∠BAD =60°；（3）CE=．

【解析】

（1）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)．只要證明△BAD≌△CAE，即可推出∠BAD=∠CAE=（90°-60°）=15°；

（2）分兩種情形求解①如圖2中，當(dāng)BD=DC時(shí)，易知AD=CD=DE，此時(shí)△DEC是等腰三角形．②如圖3中，當(dāng)CD=CE時(shí)，△DEC是等腰三角形；

（3）如圖4中，當(dāng)E在BC上時(shí)，E記為E′，D記為D′，連接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N⊥AC于N，DE交AE′于O．首先確定點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線EE′（過(guò)點(diǎn)E與BC成60°角的直線上），可得EC的最小值即為線段CM的長(zhǎng)（垂線段最短）.

解：（1）如圖1中，當(dāng)點(diǎn)E在BC上時(shí)．

∵AD=AE，∠DAE=60°，

∴△ADE是等邊三角形，

∴∠ADE=∠AED=60°，

∴∠ADB=∠AEC=120°，

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠B=∠C=45°，

在△ABD和△ACE中，

∠B=∠C，∠ADB=∠AEC，AB=AC，

∴△BAD≌△CAE，

∴∠BAD=∠CAE=（90°-60°）=15°．

（2）①如圖2中，當(dāng)BD=DC時(shí)，易知AD=CD=DE，此時(shí)△DEC是等腰三角形，∠BAD=∠BAC=45°．

②如圖3中，當(dāng)CD=CE時(shí)，△DEC是等腰三角形．

∵AD=AE，

∴AC垂直平分線段DE，

∴∠ACD=∠ACE=45°，

∴∠DCE=90°，

∴∠EDC=∠CED=45°，

∵∠B=45°，

∴∠EDC=∠B，

∴DE∥AB，

∴∠BAD=∠ADE=60°．

（3）如圖4中，當(dāng)E在BC上時(shí)，E記為E′，D記為D′，連接EE′．作CM⊥EE′于M，E′N(xiāo)⊥AC于N，DE交AE′于O．

∵∠AOE=∠DOE′，∠AE′D=∠AEO，

∴△AOE∽△DOE′，

∴AO：OD=EO：OE'，

∴AO：EO=OD：OE'，

∵∠AOD=∠EOE′，

∴△AOD∽△EOE′，

∴∠EE′O=∠ADO=60°，

∴點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)軌跡是直線EE′（過(guò)點(diǎn)E與BC成60°角的直線上），

∴EC的最小值即為線段CM的長(zhǎng)（垂線段最短），

設(shè)E′N(xiāo)=CN=a，則AN=4-a，

在Rt△ANE′中，tan75°=AN：NE'，

∴2+=，

∴a=2-，

∴CE′=CN=2-．

在Rt△CE′M中，CM=CE′cos30°=，

∴CE的最小值為．