Question

【題目】如圖，經過原點的拋物線與直線交于，兩點，其對稱軸是直線，拋物線與軸的另一個交點為，線段與軸交于點．

（1）求拋物線的解析式，并寫出點的坐標；

（2）若點為線段上一點，且，點為線段上不與端點重合的動點，連接，過點作直線的垂線交軸于點，連接，探究在點運動過程中，線段，有何數量關系？并證明所探究的結論；

（3）設拋物線頂點為，求當為何值時，為等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）；點的坐標為；（2），理由見解析；（3）或

【解析】

（1）先求出a、b的值，然后求出解析式，再求出點D的坐標即可；

（2）由題意，先求出點E的坐標，然后證明，得到，結合勾股定理，即可得到答案；

（3）根據題意，可分為三種情況進行或或，分別求出三種情況的值即可．

解：（1）∵拋物線經過原點，

∴．

又拋物線的對稱軸是直線，

∴，解得：．

∴拋物線的解析式為：．

令，

解得：，．

∴點的坐標為．

（2）線段、的數量關系為：．

證明：由拋物線的對稱性得線段的中點為，

如圖①，，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴，

過點作軸于，則．

∵，∴，

∵，∴．

∴．

在與中，

∵，，

∴，

∴，

∴．

在中，由勾股定理得：，

∴．

（3）由，

∴頂點坐標為．

若為等腰三角形，可能有三種情形：

（I）若．如圖②所示：

連接交軸于點，則，

∵，

∴．

設，則．

在中，由勾股定理得：，

∴，

解得：，

∴，，

∴，即點M的縱坐標為；

令，則，

∴，即ON=2，

∴OF=，

∴．

∵，

∴，

∴，

∴，

在Rt△OPF中，由勾股定理，得

,

∴，

∴．

（II）若．如圖③所示：

此時，

∴，

∴，

由（I）知，，，

在Rt△OPF中，由勾股定理，得

，

∴

∴．

（III）若．由拋物線對稱性可知，此時點與原點重合．

∵，點在直線上方，與點在線段上運動相矛盾，

故此種情形不存在．