Question

【題目】如圖，，平分，且交于點，平分，且交于點，與相交于點，連接

（1）求證：四邊形是菱形．

（2）若，，求的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）AD＝．

【解析】

（1）根據平行線的性質得出∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，根據角平分線定義得出∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，求出∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，根據等腰三角形的判定得出AB＝BC＝AD，根據平行四邊形的判定得出四邊形ABCD是平行四邊形，即可得出結論；

（2）根據菱形的性質可得∠AOD＝90°，OD＝3，然后在Rt△AOD中利用勾股定理列方程求出AO即可解決問題．

（1）證明：∵AE∥BF，

∴∠ADB＝∠DBC，∠DAC＝∠BCA，

∵AC、BD分別是∠BAD、∠ABC的平分線，

∴∠DAC＝∠BAC，∠ABD＝∠DBC，

∴∠BAC＝∠ACB，∠ABD＝∠ADB，

∴AB＝BC，AB＝AD

∴AD＝BC，

∵AD∥BC，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，

∵AD＝AB，

∴平行四邊形四邊形ABCD是菱形；

（2）∵四邊形ABCD是菱形，BD＝6，

∴∠AOD＝90°，OD＝3，

∵，

∴AD＝2AO，

在Rt△AOD中，AD2＝AO2＋OD2，即4AO2＝AO2＋9，

∴AO＝，

∴AD＝2AO＝．