Question

【題目】如圖，是的直徑，為上一點，于點，交于點，與交于點為延長線上一點，且．

（1）求證：是的切線；

（2）求證：；

（3）若，求的長．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）欲證明BD是⊙O的切線，只要證明BD⊥AB；
（2）連接AC，證明△FCM∽△FAC即可解決問題；
（3）連接BF，想辦法求出BF，FM即可解決問題．

（1）∵，
∴∠AFC=∠ABC，
又∵∠AFC=∠ODB，
∴∠ABC=∠ODB，
∵OE⊥BC，
∴∠BED=90°，
∴∠ODB+∠EBD=90°，
∴∠ABC+∠EBD=90°，
∴OB⊥BD，
∴BD是⊙O的切線；
（2）連接AC，

∵OF⊥BC，
∴，，
∴∠BCF=∠FAC，
又∵∠CFM=∠AFC，
∴△FCM∽△FAC，
∴；
（3）連接BF，
∵AB是⊙O的直徑，且AB=10，
∴∠AFB=90°，

∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴,

∴．