Question

【題目】如圖，點B在線段AC上，點D，E在AC的同側，∠A＝∠C＝90°，BD⊥BE，AD＝BC.

(1)求證：AC＝AD＋CE；

(2)若AD＝3，AB＝5，點P為線段AB上的動點，連接DP，作PQ⊥DP，交直線BE于點Q，當點P與A，B兩點不重合時，求的值．

Answer 1

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】試題分析：（1）根據同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角邊”證明△ABD和△CEB全等，根據全等三角形對應邊相等可得AB=CE，然后根據AC=AB+BC整理即可得證；

（2）過點Q作QF⊥BC于F，根據△BFQ和△BCE相似可得，然后求出QF=BF，再根據△ADP和△FPQ相似可得，然后整理得到（AP-BF）（5-AP）=0，從而求出AP=BF，最后利用相似三角形對應邊成比例可得，從而得解．

試題解析：（1）∵BD⊥BE，

∴∠1+∠2=180°-90°=90°，

∵∠C=90°，

∴∠2+∠E=180°-90°=90°，

∴∠1=∠E，

∵在△ABD和△CEB中，

，

∴△ABD≌△CEB（AAS），

∴AB=CE，

∴AC=AB+BC=AD+CE；

（2）如圖，過點Q作QF⊥BC于F，

則△BFQ∽△BCE，

∴，

即 ，

∴QF=BF，

∵DP⊥PQ，

∴∠APD+∠FPQ=180°-90°=90°，

∵∠APD+∠ADP=180°-90°=90°，

∴∠ADP=∠FPQ，

又∵∠A=∠PFQ=90°，

∴△ADP∽△FPQ，

∴，

即，

∴5AP-AP2+APBF=3BF，

整理得，（AP-BF）（AP-5）=0，

∵點P與A，B兩點不重合，

∴AP≠5，

∴AP=BF，

由△ADP∽△FPQ得，，

∴．