Question

【題目】已知點A（3，4），點B為直線x=1上的動點，設B（－1，y）．

（1）如圖①，若△ABO是等腰三角形且AO=AB時，求點B的坐標；

（2）如圖②，若點C（x，0）且－1＜x＜3，BC⊥AC垂足為點C；

①當x=0時，求tan∠BAC的值；

②若AB與y軸正半軸的所夾銳角為α，當點C在什么位置時tanα的值最大？

Answer 1

【答案】⑴B（-1，1）或B（-1，7）⑵① ②當C(1，0)時，tanα有最大值

【解析】試題分析：（1）在Rt△ABE中，根據勾股定理得到，得到結論；

（2）①由C（x，0），當x=0時，點C與O重合，如圖，設直線x=-1與x軸交于G點，過A作AF⊥x軸，通過△AOF∽△OBG可得結果；

②設直線x=-1與x軸交于H，且AF⊥X

于F，根據平行線的性質得到∠ABH=α由三角形函數得到tanα=，根據相似三角形的性質可得，于是得到二次函數，配方后根據二次函數的性質可求解.

試題解析：⑴如圖，在Rt△ABE中（4-y）2+42=52；

解得y=1或7 ∴B（-1，1）或B（-1，7）

⑵①易證△AOF∽△OBG

∴BO:AO=OG:AF=1：4 ∴tan∠BAC(或者tan∠BAO)=

②由平行可知：∠ABH=α，在Rt△ABE中tanα=，

∵ tanα隨BH的增大而減小，∴當BH最小時tanα有最大值；即BG最大時，tanα有最大值。

易證△ACF∽△CBG 得BG/CF=CG/AF y/x-3=x+1/4

y=-（x+1）（3-x）=-（x-1）2+1

當x=1時，ymax=1 當C(1，0)時，tanα有最大值