Question

【題目】如圖1，二次函數y=ax2+bx的圖象過點A（﹣1，3），頂點B的橫坐標為1．

（1）求這個二次函數的表達式；
（2）點P在該二次函數的圖象上，點Q在x軸上，若以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，求點P的坐標；
（3）如圖3，一次函數y=kx（k＞0）的圖象與該二次函數的圖象交于O、C兩點，點T為該二次函數圖象上位于直線OC下方的動點，過點T作直線TM⊥OC，垂足為點M，且M在線段OC上（不與O、C重合），過點T作直線TN∥y軸交OC于點N．若在點T運動的過程中， 為常數，試確定k的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵二次函數y=ax2+bx的圖象過點A（﹣1，3），頂點B的橫坐標為1，

則有 解得

∴二次函數y=x2﹣2x

（2）

解：由（1）得，B（1，﹣1），

∵A（﹣1，3），

∴直線AB解析式為y=﹣2x+1，AB=2 ，

設點Q（m，0），P（n，n2﹣2n）

∵以A、B、P、Q為頂點的四邊形是平行四邊形，

①當AB為對角線時，根據中點坐標公式得，則有 ，解得 或

∴P（1+ ，2）和（1﹣ ，2）

②當AB為邊時，根據中點坐標公式得 解得 或

∴P（1+ ，4）或（1﹣ ，4）．

（3）

解：設T（m，m2﹣2m），∵TM⊥OC，

∴可以設直線TM為y=﹣ x+b，則m2﹣2m=﹣ m+b，b=m2﹣2m+ ，

由 解得 ，

∴OM= = ，ON=m ，

∴ = ，

∴k= 時， = ．

∴當k= 時，點T運動的過程中， 為常數．本題考查二次函數綜合題，平行四邊形的判定和性質，中點坐標公式等知識，解題

【解析】（1）利用待定系數法即可解決問題（2）①當AB為對角線時，根據中點坐標公式，列出方程組解決問題．②當AB為邊時，根據中點坐標公式列出方程組解決問題．（3）設T（m，m2﹣2m），由TM⊥OC，可以設直線TM為y=﹣ x+b，則m2﹣2m=﹣ m+b，b=m2﹣2m+ ，求出點M、N坐標，求出OM、ON，根據 列出等式，即可解決問題．本題的關鍵是利用參數，方程組解決問題，學會轉化的思想，屬于中考壓軸題．