Question

【題目】已知，如圖：在平面直角坐標系中，點D是直線y=﹣x上一點，過O、D兩點的圓⊙O1分別交x軸、y軸于點A和B．

（1）當A（﹣12，0），B（0，﹣5）時，求O1的坐標；

（2）在（1）的條件下，過點A作⊙O1的切線與BD的延長線相交于點C，求點C的坐標；

（3）若點D的橫坐標為，點I為△ABO的內心，IE⊥AB于E，當過O、D兩點的⊙O1的大小發生變化時，其結論：AE﹣BE的值是否發生變化？若不變，請求出其值；若變化，請求出變化范圍．

Answer 1

【答案】（1）O1（﹣6，﹣2.5）；（2）C（﹣7，12）；（3）見解析.

【解析】

（1）連接AB，過點O1作O1K⊥OA于點K，由∠AOB=90°，可知：AB過圓心O1，已知點A，點B的坐標，O1A=O1B，則O1K=OB，OK=OA，從而可將點O1的坐標求出；

（2）證△ACH≌△BAO，得CH=OA，OH=AO-OB，從而可將點C的坐標求出；

（3）作輔助線，作DN⊥X軸于N，DM⊥Y軸于M，可知：四邊形DMON為正方形，通過證明△ADN≌△BDM，得AN=BM，故AE-BEAG-BF=（OA-OG）-（OB-OF）=OA-OB=（AN+OG）-（AN-MO）=OG+OM=7為定值．

（1）連接AB，過點O1作O1K⊥OA于點K，

∵∠AOB=90°，

∴AB經過圓心O1，

∵A（﹣12，0），B（0，﹣5），O1K⊥O1A，O1A=O1B，

∴O1K=OB=2.5，OK=OA=×12=6，

∴O1（﹣6，﹣2.5）；

（2）過點C作CH⊥x軸于點H，連接AD、AB，

∵AC為⊙O1的切線

∴∠CAB=90°，

∵直線OD解析式為y=﹣x，

∴∠AOD=∠ABD=45°，

∴△ABC為等腰直角三角形，

∴AC=AB，

∵AC為⊙O1的切線，

∴∠CAH=∠ABO，

∵∠CHA=∠AOB=90°，AC=AB，

∴△ACH≌△BAO，

∴CH=OA=12，OH=AO﹣OB=12﹣5=7，

∴點C（﹣7，12）；

（3）D是直線y=﹣x上一點，作DN⊥X軸于N，DM⊥Y軸于M，

DM=DN=NO=MO，G、F分別是與X軸、Y軸的切點，由AE=AG，BE=BF，IG=OG=OF=IF，

∵∠ADN+∠NDB=90°，∠BDM+∠NDB=90°

∴∠ADN=∠BDM，

∵∠ADN=∠BDM，ND=DM，∠AND=∠BMD=90°

∴△ADN≌△BDM，

∴AN=BM，

∴AE﹣BE=AG﹣BF，=（OA﹣OG）﹣（OB﹣OF）=OA﹣OB=（AN+ON）﹣（AN﹣MO）=ON+OM==7．