Question

【題目】如圖①，現有一張三角形ABC紙片，沿BC邊上的高AE所在的直線翻折，使得點C與BC邊上的點D重合．

（1）填空：△ADC是 三角形；

（2）若AB=15，AC=13，BC=14，求BC邊上的高AE的長；

（3）如圖②，若∠DAC=90°，試猜想：BC、BD、AE之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】（1）等腰（2）12（3）見解析

【解析】

試題分析：（1）根據折疊得到AD=AC，所以△ADC是等腰三角形；

（2）設CE=x，利用勾股定理得到方程132﹣x2=152﹣（14﹣x）2解得：x=5，在Rt△AEC中，由勾股定理即可解答；

（3）猜想BC、BD、AE之間的數量關系為：BC﹣BD=2AE．由△ADC是等腰三角形，又∠DAC=90°，得到△ADC是等腰直角三角形又AE是CD邊上的高，所以△AED與△AEC都是等腰直角三角形，即可得到CD=2AE．由BC﹣BD=CD，即可解答．

解：（1）∵三角形ABC紙片，沿BC邊上的高AE所在的直線翻折，使得點C與BC邊上的點D重合．

∴AD=AC，

∴△ADC是等腰三角形；

故答案為：等腰．

（2）設CE=x，則BE=14﹣x，

在Rt△AEC中，由勾股定理得：AE2=AC2﹣CE2，

∴AE2=132﹣x2

在Rt△ABE中，由勾股定理得：AE2=AB2﹣BE2，

∴AE2=152﹣（14﹣x）2

∴132﹣x2=152﹣（14﹣x）2

解得：x=5，

在Rt△AEC中，由勾股定理得：．

（3）猜想BC、BD、AE之間的數量關系為：BC﹣BD=2AE．

證明如下：

由（1）得：△ADC是等腰三角形，又∠DAC=90°，

∴△ADC是等腰直角三角形

又AE是CD邊上的高，

∴DE=CE，，

∴△AED與△AEC都是等腰直角三角形，

∴DE=AE=EC，即CD=2AE．

∵BC﹣BD=CD

∴BC﹣BD=2AE．