Question

【題目】如圖，在中，，點是邊上的動點，連接，以為斜邊在的下方作等腰直角三角形．

（1）填空：的面積等于 ；

（2）連接，求證：是的平分線；

（3）點在邊上，且， 當從點出發運動至點停止時，求點相應的運動路程．

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）

【解析】

（1）根據直角三角形的面積計算公式直接計算可得；

（2）如圖所示作出輔助線，證明△AEM≌△DEN（AAS），得到ME=NE，即可利用角平分線的判定證明；

（3）由（2）可知點E在∠ACB的平分線上，當點D向點B運動時，點E的路徑為一條直線，再根據全等三角形的性質得出CN=，根據CD的長度計算出CE的長度即可．

解：（1）

∴，

故答案為：

（2）連接CE，過點E作EM⊥AC于點M，作EN⊥BC于點N，

∴∠EMA=∠END=90°，

又∵∠ACB=90°，

∴∠MEN=90°，

∴∠MED+∠DEN=90°，

∵△ADE是等腰直角三角形

∴∠AED=90°，AE=DE

∴∠AEM+∠MED=90°，

∴∠AEM=∠DEN

∴在△AEM與△DEN中，

∠EMA=∠END=90°，∠AEM=∠DEN，AE=DE

∴△AEM≌△DEN（AAS）

∴ME=NE

∴點E在∠ACB的平分線上，

即是的平分線

（3）由（2）可知，點E在∠ACB的平分線上，

∴當點D向點B運動時，點E的路徑為一條直線，

∵△AEM≌△DEN

∴AM=DN，

即AC-CM=CN-CD

在Rt△CME與Rt△CNE中，CE=CE，ME=NE，

∴Rt△CME≌Rt△CNE（HL）

∴CM=CN

∴CN=，

又∵∠MCE=∠NCE=45°，∠CME=90°，

∴CE=，

當AC=3，CD=CO=1時，

CE=

當AC=3，CD=CB=7時，

CE=

∴點E的運動路程為：，