Question

【題目】已知：如圖，在平面直角坐標系中，O為坐標原點，△OAB的頂點A、B的坐標分別是A（0，5），B（3，1），過點B畫BC⊥AB交直線于點C，連結AC，以點A為圓心，AC為半徑畫弧交x軸負半軸于點D，連結AD、CD．

（1）求證：△ABC≌△AOD．

（2）設△ACD的面積為，求關于的函數關系式．

（3）若四邊形ABCD恰有一組對邊平行，求的值．

Answer 1

【答案】（1）證明詳見解析；（2）S=（m+1）2+（m＞）；（3）3或8．

【解析】

試題（1）利用兩點間的距離公式計算出AB=5，則AB=OA，則可根據“HL”證明△ABC≌△AOD；

（2）過點B作直線BE⊥直線y=﹣m于E，作AF⊥BE于F，如圖，證明Rt△ABF∽Rt△BCE，利用相似比可得BC=（m+1），再在Rt△ACB中，由勾股定理得AC2=AB2+BC2=25+（m+1）2，然后證明△AOB∽△ACD，利用相似的性質得，而S△AOB=，于是可得S=（m+1）2+（m＞）；

（3）作BH⊥y軸于H，如圖，分類討論：當AB∥CD時，則∠ACD=∠CAB，由△AOB∽△ACD得∠ACD=∠AOB，所以∠CAB=∠AOB，利用三角函數得到tan∠AOB=3，tan∠ACB=，所以=3；當AD∥BC，則∠5=∠ACB，由△AOB∽△ACD得到∠4=∠5，則∠ACB=∠4，根據三角函數定義得到tan∠4=，tan∠ACB=，則=，然后分別解關于m的方程即可得到m的值．

試題解析：（1）證明：∵A（0，5），B（3，1），

∴AB==5，

∴AB=OA，

∵AB⊥BC，

∴∠ABC=90°，

在Rt△ABC和Rt△AOD中，

，

∴Rt△ABC≌Rt△AOD；

（2）解：過點B作直線BE⊥直線y=﹣m于E，作AF⊥BE于F，如圖，∵∠1+∠2=90°，∠1+∠3=90°，

∴∠2=∠3，

∴Rt△ABF∽Rt△BCE，

∴，即，

∴BC=(m+1），

在Rt△ACB中，AC2=AB2+BC2=25+（m+1）2，

∵△ABC≌△AOD，

∴∠BAC=∠OAD，即∠4+∠OAC=∠OAC+∠5，

∴∠4=∠5，

而AO=AB，AD=AC，

∴△AOB∽△ACD，

∴=，

而S△AOB=×5×3=，

∴S=（m+1）2+（m＞）；

（3）作BH⊥y軸于H，如圖，

當AB∥CD時，則∠ACD=∠CAB，

而△AOB∽△ACD，

∴∠ACD=∠AOB，

∴∠CAB=∠AOB，

而tan∠AOB==3，tan∠ACB===，

∴=3，解得m=8；

當AD∥BC，則∠5=∠ACB，

而△AOB∽△ACD，

∴∠4=∠5，

∴∠ACB=∠4，

而tan∠4=，tan∠ACB=，

∴=，

解得m=3．

綜上所述，m的值為3或8．