Question

【題目】已知：如圖所示，直線MN∥GH，另一直線交GH于A，交MN于B，且∠MBA＝80°，點C為直線GH上一動點，點D為直線MN上一動點，且∠GCD＝50°．

（1）如圖1，當點C在點A右邊且點D在點B左邊時，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點P，求∠BPC的度數；

（2）如圖2，當點C在點A右邊且點D在點B右邊時，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線于點P，求∠BPC的度數；

（3）當點C在點A左邊且點D在點B左邊時，∠DBA的平分線交∠DCA的平分線所在直線交于點P，請直接寫出∠BPC的度數，不說明理由．

Answer 1

【答案】（1）∠BPC＝65°；（2）∠BPC＝155°；（3）∠BPC＝155°

【解析】

（1）如圖1，過點P作PE∥MN，根據題意結合平行線的性質和角平分線的性質可以得出：∠BPE=∠DBP=40°，，據此進一步求解即可；

（2）如圖2，過點P作PE∥MN，根據平角可得∠DBA=100°，再由角平分線和平行線的性質得∠BPE＝130°，，據此進一步求解即可；

（3）如圖3，過點P作PE∥MN，根據角平分線性質得出∠DBP＝∠PBA=40°，由此得出∠BPE=∠DBP=40°，然后根據題意得出，由此再利用平行線性質得出∠CPE度數，據此進一步求解即可.

（1）如圖1，過點P作PE∥MN．

∵PB平分∠DBA，

∴∠DBP=∠PBA=40°，

∵PE∥MN，

∴∠BPE=∠DBP=40°，

同理可證：，

∴∠BPC＝40°+25°＝65°；

（2）如圖2，過點P作PE∥MN．

∵∠MBA＝80°．

∴∠DBA＝180°80°＝100°．

∵BP平分∠DBA．

∴，

∵MN∥PE，

∴∠BPE＝180°∠DBP＝130°，

∵PC平分∠DCA．

∴，

∵MN∥PE，MN∥GH，

∴PE∥GH，

∴∠EPC=∠PCA=25°，

∴∠BPC＝130°+25°＝155°；

（3）如圖3，過點P作PE∥MN．

∵BP平分∠DBA．

∴∠DBP＝∠PBA=40°，

∵PE∥MN，

∴∠BPE=∠DBP=40°，

∵CP平分∠DCA，∠DCA＝180°∠DCG＝130°，

∴，

∵PE∥MN，MN∥GH，

∴PE∥GH，

∴∠CPE＝180°∠PCA＝115°，

∴∠BPC＝40°+115°＝155°．