Question

已知：如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC的平分線交AC于D．
（1）求證：△ABC∽△BCD；（2）若BC=2，求AB的長．

Answer 1

分析：（1）根據角平分線的性質得到∠DBC=∠A，已知有一組公共角，則根據有兩組角對應相等則兩三角形相似可得到△ABC∽△BCD；
（2）相似三角形的對應邊對應成比例，且由已知可得到BD=BC=AD，從而便可求得AB的長．

解答：證明：（1）∵AB=AC，∠A=36°，
∴∠ABC=∠C=72°．
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=36°．
∴∠DBC=∠A=36°．
又∵∠ABC=∠C，
∴△ABC∽△BCD．

（2）∵∠ABD=∠A=36°，
∴AD=BD，∠BDC=∠C=72°．
∴BD=BC=AD．
∵△ABC∽△BCD，
∴

AB

BC

=

BC

CD

．
即

AB

2

=

2

AB-2

．
解得：AB=1+

5

或1-

5

（不符合題意）．
∴AB=1+

5

．

點評：此題考查學生對相似三角形的判定及等腰三角形的性質的掌握情況．