Question

【題目】如圖，已知A、B兩點的坐標分別為（2，0）、（0，4），P是△AOB外接圓⊙C上的一點，且∠AOP=45°，則點P的坐標為________．

Answer 1

【答案】（3，3）

【解析】

由OA與OB的長，利用勾股定理求出AB的長，根據∠AOP=45°，得到三角形OPE為等腰直角三角形，即P橫縱坐標相等，設為P（a，a），由∠AOB為直角，利用直角所對的弦為直徑得到AB為直徑，Rt△AOB外接圓的圓心為AB中點，求出圓心C坐標，過點C作CF∥OA，過點P作PE⊥OA于E交CF于F，在直角三角形PCF中，利用勾股定理列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出P的坐標即可．

：

∵OB=4，OA=2，

∴AB==2，

∵∠AOP=45°，

∴P點橫縱坐標相等,可設為a,即P(a,a)，

∵∠AOB=90°，

∴AB是直徑，

∴Rt△AOB外接圓的圓心為AB中點,坐標C(1,2)，

P點在圓上,P點到圓心的距離為圓的半徑，

過點C作CF∥OA，過點P作PE⊥OA于E交CF于F，

∴∠CFP=90°，

∴PF=a2,CF=a1,PC=，

∴根據勾股定理得：(a2)2+(a1)2=()2，

解得：a=3，

∴P(3,3)；

故答案為：(3,3).