Question

【題目】在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，點D在BC邊上，△ABD和△AFD關于直線AD對稱，∠FAC的平分線交BC于點G，連接FG．
（1）求∠DFG的度數；
（2）設∠BAD=θ， ①當θ為何值時，△DFG為等腰三角形；
②△DFG有可能是直角三角形嗎？若有，請求出相應的θ值；若沒有，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵AB=AC，∠BAC=100°，

∴∠B=∠C=40°．

∵△ABD和△AFD關于直線AD對稱，

∴△ADB≌△ADF，

∴∠B=∠AFD=40°，AB=AF∠BAD=∠FAD=θ，

∴AF=AC．

∵AG平分∠FAC，

∴∠FAG=∠CAG．

在△AGF和△AGC中，

，

∴△AGF≌△AGC（SAS），

∴∠AFG=∠C．

∵∠DFG=∠AFD+∠AFG，

∴∠DFG=∠B+∠C=40°+40°=80°．

答：∠DFG的度數為80°

（2）解：①當GD=GF時，

∴∠GDF=∠GFD=80°．

∵∠ADG=40°+θ，

∴40°+80°+40°+θ+θ=180°，

∴θ=10°．

當DF=GF時，

∴∠FDG=∠FGD．

∵∠DFG=80°，

∴∠FDG=∠FGD=50°．

∴40°+50°+40°+2θ=180°，

∴θ=25°．

當DF=DG時，

∴∠DFG=∠DGF=80°，

∴∠GDF=20°，

∴40°+20°+40°+2θ=180°，

∴θ=40°．

∴當θ=10°，25°或40°時，△DFG為等腰三角形；

②當∠GDF=90°時，

∵∠DFG=80°，

∴40°+90°+40°+2θ=180°，

∴θ=5°．

當∠DGF=90°時，

∵∠DFG=80°，

∴∠GDF=10°，

∴40°+10°+40°+2θ=180°，

∴θ=45°

∴當θ=5°或45°時，△DFG為直角三角形

【解析】（1）由軸對稱可以得出△ADB≌△ADF，就可以得出∠B=∠AFD，AB=AF，在證明△AGF≌△AGC就可以得出∠AFG=∠C，就可以求出∠DFG的值；（2）①當GD=GF時，就可以得出∠GDF═80°，根據∠ADG=40+θ，就有40°+80°+40°+θ+θ=180°就可以求出結論；當DF=GF時，就可以得出∠GDF=50°，就有40°+50°+40°+2θ=180°，當DF=DG時，∠GDF=20°，就有40°+20°+40°+2θ=180°，從而求出結論； ②有條件可以得出∠DFG=80°，當∠GDF=90°時，就有40°+90°+40°+2θ=180°就可以求出結論，當∠DGF=90°時，就有∠GDF=10°，得出40°+10°+40°+2θ=180°求出結論．