Question

【題目】操作體驗：如圖，在矩形ABCD中，點E、F分別在邊AD、BC上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點D恰好與點B重合，點C落在點C′處.點P為直線EF上一動點(不與E、F重合)，過點P分別作直線BE、BF的垂線，垂足分別為點M和N，以PM、PN為鄰邊構造平行四邊形PMQN.

(1)如圖1，求證：BE＝BF；

(2)特例感知：如圖2，若DE＝5，CF＝2，當點P在線段EF上運動時，求平行四邊形PMQN的周長；

(3)類比探究：若DE＝a，CF＝b.

①如圖3，當點P在線段EF的延長線上運動時，試用含a、b的式子表示QM與QN之間的數量關系，并證明；

②如圖4，當點P在線段FE的延長線上運動時，請直接用含a、b的式子表示QM與QN之間的數量關系.(不要求寫證明過程)

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)四邊形PMQN的周長為2；(3)①QN﹣QM＝，證明見解析；②QM﹣QN＝.

【解析】

(1)根據矩形的對邊平行可得∠DEF＝∠EFB，根據翻折性質可得∠DEF＝∠BEF，由此可得∠BEF＝∠EFB，即可求得結論；

(2)如圖2中，連接BP，作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，EH＝AB，先求出AB的長，繼而利用面積法求出PM+PN＝EH＝，再根據平行形的周長公式求解即可；

(3)①如圖3中，連接BP，作EH⊥BC于H，先求出EH＝AB＝，再根據面積法求得PM﹣PN＝EH＝，繼而根據平行四邊形的性質即可求得QN﹣QM＝(PM﹣PN)＝，

②如圖4，當點P在線段FE的延長線上運動時，同法可證：QM﹣QN＝PN﹣PM＝.

(1)如圖1中，

∵四邊形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴∠DEF＝∠EFB，

由翻折可知：∠DEF＝∠BEF，

∴∠BEF＝∠EFB，

∴BE＝BF；

(2)如圖2中，連接BP，作EH⊥BC于H，則四邊形ABHE是矩形，EH＝AB，

∵DE＝EB＝BF＝5，CF＝2，

∴AD＝BC＝7，AE＝2，

在Rt△ABE中，∵∠A＝90°，BE＝5，AE＝2，

∴AB＝，

∵S△BEF＝S△PBE+S△PBF，PM⊥BE，PN⊥BF，

∴BFEH＝BEPM+BFPN，

∵BE＝BF，

∴PM+PN＝EH＝，

PMQN是平行四邊形，

∴四邊形PMQN的周長＝2(PM+PN)＝2；

(3)①如圖3中，連接BP，作EH⊥BC于H，

∵ED＝EB＝BF＝a，CF＝b，

∴AD＝BC＝a+b，

∴AE＝AD﹣DE＝b，

∴EH＝AB＝，

∵S△EBP﹣S△BFP＝S△EBF，

∴BEPM﹣BFPN＝BFEH，

∵BE＝BF，

∴PM﹣PN＝EH＝，

∵四邊形PMQN是平行四邊形，

∴QN﹣QM＝(PM﹣PN)＝，

②如圖4，當點P在線段FE的延長線上運動時，同法可證：QM﹣QN＝PN﹣PM＝.