Question

【題目】已知，如圖所示，在矩形ABCD中，點E在BC邊上，△AEF＝90°

（1）如圖①，已知點F在CD邊上，AD＝AE＝5，AB＝4，求DF的長；

（2）如圖②，已知AE＝EF，G為AF的中點，試探究線段AB，BE，BG的數量關系；

（3）如圖③，點E在矩形ABCD的BC邊的延長線上，AE與BG相交于O點，其他條件與（2）保持不變，AD＝5，AB＝4，CE＝1，求△AOG的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）AB+BE＝BG．理由見解析；（3）

【解析】

（1）根據矩形性質求出AE,運用勾股定理求BE,EC,再證Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），在Rt△CEF中，由勾股定理得結果；（2）作FM⊥BC交BC的延長線于M，作GN⊥BC于N，連接GM，△ABE≌△EMF（AAS），得AB＝EM，BE＝FM，證點N為BM的中點，GN＝（AB+FM），再解直角三角形可得；（3）連接EG，作OP⊥BE于P，作OQ⊥AG于Q，根據矩形性質，證出等腰直角三角形，再解直角三角形，求出關鍵線段長度，再求面積.

（1）∵四邊形ABCD是矩形，

∴∠A＝∠C＝∠D＝90°，CD＝AB＝4，

∵AD＝AE，AD＝5，

∴AE＝5，

在Rt△ABE中，由勾股定理得，BE＝＝3，

∴EC＝2，

在Rt△AEF和Rt△ADF中，，

∴Rt△AEF≌Rt△ADF（HL），

∴EF＝DF，

設DF＝EF＝x，則CF＝4﹣x，

在Rt△CEF中，由勾股定理得：22+（4﹣x）2＝x2，

解得：x＝，

即DF的長為；

（2）AB+BE＝BG．理由如下：

作FM⊥BC交BC的延長線于M，作GN⊥BC于N，連接GM，如圖②所示：

在△ABE和△EMF中，，

∴△ABE≌△EMF（AAS）

∴AB＝EM，BE＝FM，

∵AB⊥BC，FM⊥BC，GN⊥BC，

∴AB∥GN∥FM，又點G為AF的中點，

∴點N為BM的中點，GN＝（AB+FM），

∴GN＝BM，

∴GB＝GN，∠BGM＝90°，

∴BM＝BG，

∴AB+BE＝BG．

（3）連接EG，作OP⊥BE于P，作OQ⊥AG于Q，如圖③所示：

∵四邊形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝5，∠ABC＝90°，

∴BE＝BC+CE＝6，

∴AE＝

∵△AEF是等腰直角三角形，G是AF的中點，

∴∠GAE＝45°，EG⊥AF，

∴△AGE是等腰直角三角形，∠AGE＝90°，

∴AE＝AG，

∴AG＝，

∵∠ABE＝90°，

∴∠ABE+∠AGE＝180°，

∴A、B、E、G四點共圓，

∴∠GBE＝∠GAE＝45°，

∴△OBP是等腰直角三角形，

∴OP＝BP，

設OP＝BP＝x，

∵tan∠AEB＝，

即，

∴PE＝x，

∵BP+PE＝BE＝6，

∴x+x＝6，

解得：x＝，

∴OP＝，

∴OE＝，

∴AO＝AE﹣OE＝，

在Rt△AOQ中，∠OAQ＝45°，

∴OQ＝，

∴△AOG的面積＝．