Question

【題目】通過類比聯想、引申拓展研究典型題目，可達到解一題知一類的目的．下面是一個案例，請補充完整．

原題：如圖1，點E、F分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，∠EAF＝45°，連接EF，則EF＝BE＋DF，試說明理由．

（1）思路梳理

∵AB＝CD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合．

∵∠ADC＝∠B＝90°，

∴∠FDG＝180°，點F、D、G共線．

根據___________，SAS

易證△AFG≌___________△AEF

，得EF＝BE＋DF．

（2）類比引申

如圖2，四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°．點E、F分別在邊BC、CD上，∠EAF＝45°．若∠B、∠D都不是直角，則當∠B與∠D滿足等量關系______________∠B+∠D=180°

時，仍有EF＝BE＋DF．

（3）聯想拓展

如圖3，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，點D、E均在邊BC上，且∠DAE＝45°．猜想BD、DE、EC應滿足的等量關系，并寫出推理過程．

Answer 1

【答案】答案見解析.

【解析】

試題分析：（1）把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，再證明△AFG≌△AFE進而得到EF=FG，即可得EF=BE+DF；

（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF，與（1）的證法類同；

（3）根據△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE′，根據旋轉的性質，可知△AEC≌△ABE′得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，根據Rt△ABC中的，AB=AC得到∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2，證△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2；

試題解析：（1）∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合．

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC=∠B=90°，

∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，

在△AFE和△AFG中

，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，

即：EF=BE+DF．

（2）∠B+∠D=180°時，EF=BE+DF；

∵AB=AD，

∴把△ABE繞點A逆時針旋轉90°至△ADG，可使AB與AD重合，

∴∠BAE=∠DAG，

∵∠BAD=90°，∠EAF=45°，

∴∠BAE+∠DAF=45°，

∴∠EAF=∠FAG，

∵∠ADC+∠B=180°，

∴∠FDG=180°，點F、D、G共線，

在△AFE和△AFG中

，

∴△AFE≌△AFG（SAS），

∴EF=FG，

即：EF=BE+DF．

（3）猜想：DE2=BD2+EC2，

證明：連接DE′，根據△AEC繞點A順時針旋轉90°得到△ABE′，

∴△AEC≌△ABE′，

∴BE′=EC，AE′=AE，

∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，

在Rt△ABC中，

∵AB=AC，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠ABC+∠ABE′=90°，

即∠E′BD=90°，

∴E′B2+BD2=E′D2，

又∵∠DAE=45°，

∴∠BAD+∠EAC=45°，

∴∠E′AB+∠BAD=45°，

即∠E′AD=45°，

在△AE′D和△AED中，

∴△AE′D≌△AED（SAS），

∴DE=DE′，

∴DE2=BD2+EC2．