Question

【題目】如圖，拋物線y＝－x 2＋bx＋c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，已知經過B、C兩點的直線的表達式為y＝－x＋3．

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)點P(m，0)是線段OB上的一個動點，過點P作y軸的平行線，交直線BC于D，交拋物線于E，EF∥x軸，交直線BC于F，DG∥x軸，FG∥y軸，DG與FG交于點G．設四邊形DEFG的面積為S，當m為何值時S最大，最大值是多少？

(3)在坐標平面內是否存在點Q，將△OAC繞點Q逆時針旋轉90°，使得旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線上．若存在，求出所有符合條件的點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）y＝－x 2＋2x＋3 （2）當m＝ 時，S有最大值 （3）存在符合條件的點Q，點Q的坐標為（ ， ）或（ ， ）

【解析】試題分析：（1）先求出直線與x軸和y軸的交點坐標，再代入拋物線解析式中，即可求得拋物線的解析式；

（2）由P坐標可表示D、E點坐標，進而表示出DE長，由二次函數的最值可求得當DE去最大值時m的值，由于四邊形DEFG為正方形，所以面積為DE 2，即可求得S的最大值；

（3）分兩種情況討論：①當點A′、C′ 落在拋物線上時；②當點O′、C′ 落在拋物線上時，

即可求得點Q的坐標.

試題解析：（1）在y＝－x＋3中，令y＝0，得x＝3；令x＝0，得y＝3，

∴B（3，0），C（0，3）

∵拋物線y＝－x 2＋bx＋c經過B、C兩點

∴

解得

∴拋物線的函數表達式為y＝－x 2＋2x＋3；

（2）∵P（m，0），PD∥y軸交直線BC于D，交拋物線于E

∴D（m，－m＋3），E（m，－m 2＋2m＋3）

∴DE＝－m 2＋2m＋3－( －m＋3 )＝－m 2＋3m＝－( m－ )2＋

∴當m＝ 時，DE有最大值 ，

由題意可知四邊形DEFG為矩形

∵OB＝OC＝3，

∴∠DBP＝∠BDP＝∠EDF＝∠EFD＝45°

∴DE＝EF∴四邊形DEFG為正方形

∴S＝DE 2

∴當m＝ 時，S有最大值 ；

（3）如圖所示，有兩種情況：

①當點A′、C′ 落在拋物線上時

由O′A′＝OA＝1，O′C′＝OC＝3

設A′（a，－a 2＋2a＋3），則C′（a－3，－a 2＋2a＋4）

∴－a 2＋2a＋4＝－( a－3 )2＋2( a－3 )＋3

解得a＝，∴A′（， ）

作QN⊥x軸于N，A′M⊥QN于M，連接QA、QA′

則∠AQA′＝90°，可證△QAN≌△A′QM

設Q（x，y），則QM＝AN＝x＋1

A′M＝QN＝y＝x＋1＋ ＝ －x

解得x＝，y＝

∴Q1（ ， ）

②當點O′、C′ 落在拋物線上時

則O′、C′ 兩點關于拋物線的對稱軸對稱，易知拋物線的對稱軸為直線x＝1，

由O′C′＝OC＝3，可知C′（－， ），

作QN⊥O′C′ 于N，CM⊥QN于M，連接QC、QC′

則∠CQC′＝90°，

可證△CQM≌△QC′N，

設Q（x，y），則QM＝C′N＝x＋

CM＝QN＝y－ ＝x＝3－( x＋ )－

解得x＝，y＝

∴Q2（ ， ）

綜上所述，存在符合條件的點Q，點Q的坐標為（ ， ）或（ ， ）