Question

已知：關于x的方程mx²-（4m+3）x+3m+3=0．
（1）求證：無論m取何值方程必有實數根；
（2）設m＞0方程的兩個實數根分別為x₁，x₂（其中x₁＜x₂）．若y是關于m的函數，且y=x₂-3x₁，求這個函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，結合函數的圖象回答：當自變量m的取值范圍滿足什么條件時，y≤m+2．

Answer 1

分析：（1）要證明無論m取何值方程必有實數根，分兩種情況討論：當m=0，原方程有解；當m≠0，只要證明△≥0即可，而△=（4m+3）²-4m（3m+3）=（2m+3）²，由（2m+3）²≥0，可得到△≥0；
（2）利用求根公式可得x=

4m+3± (2m+3) 2

2m

=

4m+3±(2m+3)

2m

，因為m＞0，x₁＜x₂．所以x₂=

3m+3

m

，x₁=1，然后代入y=x₂-3x₁，即可得到函數的解析式即可；
（3）先求出y=

3

m

和y=m+2的交點坐標，再根據圖象回答自變量m的取值范圍．

解答：解：（1）當m=0，原方程變為：-3x+3=0，此方程有根為x=1；
當m≠0，△=（4m+3）²-4m（3m+3）=（2m+3）²，
由（2m+3）²≥0
∴△≥0，即方程有兩個實數根
所以無論m取何值方程必有實數根；

（2）∵x=

4m+3± (2m+3) 2

2m

=

4m+3±(2m+3)

2m

，而m＞0，x₁＜x₂，
∴x₂=

3m+3

m

，x₁=1，
∴y=x₂-3x₁=

3m+3

m

-3=

3

m

（m＞0）；

（3）y=

3

m

（m＞0）和y=m+2的交點坐標為（1，3），
如圖，當m≥1，y≤m+2．

點評：本題考查了一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0，a，b，c為常數）的根的判別式△=b²-4ac．當△＞0，方程有兩個不相等的實數根；當△=0，方程有兩個相等的實數根；當△＜0，方程沒有實數根．同時考查了一元一次方程和一元二次方程的定義以及用圖象法解不等式的方法．