Question

【題目】已知直線y=kx+3（k＜0）分別交x軸、y軸于A、B兩點，線段OA上有一動點P由原點O向點A運動，速度為每秒1個單位長度，過點P作x軸的垂線交直線AB于點C，設運動時間為t秒．

（1）當k=﹣1時，線段OA上另有一動點Q由點A向點O運動，它與點P以相同速度同時出發，當點P到達點A時兩點同時停止運動（如圖1）．
①直接寫出t=1秒時C、Q兩點的坐標；
②若以Q、C、A為頂點的三角形與△AOB相似，求t的值．
（2）當 時，設以C為頂點的拋物線y=（x+m）2+n與直線AB的另一交點為D（如圖2），
①求CD的長；
②設△COD的OC邊上的高為h，當t為何值時，h的值最大？

Answer 1

【答案】
（1）

解：①C（1，2），Q（2，0）

②由題意得：P（t，0），C（t，﹣t+3），Q（3﹣t，0）．

分兩種情況討論：

情形一：當△AQC∽△AOB時，∠AQC=∠AOB=90°，

∴CQ⊥OA，

∵CP⊥OA，

∴點P與點Q重合，OQ=OP，

即3﹣t=t，

∴t=1.5；

情形二：當△ACQ∽△AOB時，∠ACQ=∠AOB=90°，

∵OA=OB=3，

∴△AOB是等腰直角三角形，

∴△ACQ也是等腰直角三角形．

∵CP⊥OA，

∴AQ=2CP，

即t=2（﹣t+3），

∴t=2．

∴滿足條件的t的值是1.5秒或2秒

（2）

①由題意得：C（t，﹣ ），

∴以C為頂點的拋物線解析式是y= ，

由 ，

即（x﹣t）2+ （x﹣t）=0，

∴（x﹣t）（x﹣t+ ）=0，

解得 ．

過點D作DE⊥CP于點E，則∠DEC=∠AOB=90°，

∵DE∥OA，

∴∠EDC=∠OAB，

∴△DEC∽△AOB，

∴ ，

∵AO=4，AB=5，DE= ，

∴CD= ，

②∵ ，CD邊上的高= ，

∴ ，

∴S△COD為定值．

要使OC邊上的高h的值最大，只要OC最短，因為當OC⊥AB時OC最短，

此時OC的長為 ，∠BCO=90°，

∵∠AOB=90°，

∴∠COP=90°﹣∠BOC=∠OBA，

又∵CP⊥OA，

∴Rt△PCO∽Rt△OAB，

∴ ，OP= ，

即t= ，

∴當t為 秒時，h的值最大．

【解析】（1）①由題意可得；②由題意得到關于t的坐標．按照兩種情形解答，從而得到答案．（2）①以點C為頂點的拋物線，解得關于t的根，又由過點D作DE⊥CP于點E，則∠DEC=∠AOB=90°，又由△DEC∽△AOB從而解得．②先求得三角形COD的面積為定值，又由Rt△PCO∽Rt△OAB，在線段比例中t為 時，h最大．