Question

【題目】如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E、F、G分別是AB、CD、DA上的動點(diǎn)，且AE=BF=CG=DH.
（1）求證：四邊形EFGH是正方形；
（2）判斷直線EG是否經(jīng)過某一定點(diǎn)，說明理由；
（3）求四邊形EFGH面積的最小值．

Answer 1

【答案】
（1）

證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠A=∠B=90°，

AB=DA，

∵AE= DH，

∴BE= AH，

∴△AEH≌△BFE，

∴EH=FE，∠AHE=∠BEF，

同理：FE=GF=HG，

∴EH= FE=GF=HG，

∴四邊形EFGH是菱形，

∵∠A=90°，

∴∠AHE＋∠AEH=90°，

∴∠BEF＋∠AEH=90°，

∴∠FEH=90°，

∴菱形EFGH是正方形；

（2）

解：直線EG經(jīng)過正方形ABCD的中心，

理由如下：連接BD交EG于點(diǎn)O，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AB∥DC，AB=DC

∴∠EBD=∠GDB，

∵AE= CG，

∴BE= DG，

∵∠EOB=∠GOD，

∴△EOB≌△GOD，

∴BO=DO，即點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，

∴直線EG經(jīng)過正方形ABCD的中心；

（3）

解：設(shè)AE= DH=x，

則AH=8－x，

在Rt△AEH中，EH2=AE2＋AH2=x2＋(8－x)2= 2x2－16x＋64=2(x－4)2＋32，

∴四邊形EFGH面積的最小值為32cm.

【解析】（1）由正方形的性質(zhì)得出∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=DA，證出AH=BE=CF=DG，由SAS證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=FE=GF=GH，∠AEH=∠BFE，證出四邊形EFGH是菱形，再證出∠HEF=90°，即可得出結(jié)論；（2）連接AC、EG，交點(diǎn)為O；先證明△AOE≌△COG，得出OA=OC，證出O為對角線AC、BD的交點(diǎn)，即O為正方形的中心；（3）設(shè)四邊形EFGH面積為S，BE=xcm，則BF=（8-x）cm，由勾股定理得出S=x2+（8-x）2=2（x-4）2+32，S是x的二次函數(shù)，容易得出四邊形EFGH面積的最小值．
【考點(diǎn)精析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)的相關(guān)知識點(diǎn)，需要掌握正方形四個(gè)角都是直角，四條邊都相等；正方形的兩條對角線相等，并且互相垂直平分，每條對角線平分一組對角；正方形的一條對角線把正方形分成兩個(gè)全等的等腰直角三角形；正方形的對角線與邊的夾角是45o；正方形的兩條對角線把這個(gè)正方形分成四個(gè)全等的等腰直角三角形才能正確解答此題．