Question

【題目】如圖，在矩形ABCD中，AD＝2AB．將矩形ABCD對折，得到折痕MN，沿著CM折疊，點D的對應點為E，ME與BC的交點為F；再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，此時點B的對應點為G．下列結論：①△CMP是直角三角形；②AB＝BP；③PN＝PG；④PM＝PF；⑤若連接PE，則△PEG∽△CMD．其中正確的個數為（　　）

A.5個B.4個C.3個D.2個

Answer 1

【答案】B

【解析】

根據折疊的性質得到，于是得到，求得是直角三角形；設AB=x，則AD=2x，由相似三角形的性質可得CP=x，可求BP=PG=x=PN，可判斷②③，由折疊的性質和平行線的性質可得∠PMF=∠FPM，可證PF=FM；由，且∠G=∠D=90°，可證△PEG∽△CMD，則可求解．

∵沿著CM折疊，點D的對應點為E，

∴∠DMC=∠EMC，

∵再沿著MP折疊，使得AM與EM重合，折痕為MP，

∴∠AMP=∠EMP，

∵∠AMD=180°，

∴∠PME+∠CME=×180°=90°，

∴△CMP是直角三角形；故①符合題意；

∵AD=2AB，

∴設AB=x，則AD=BC=2x，

∵將矩形ABCD對折，得到折痕MN；

∴AM=DM=AD=x=BN=NC，

∴CMx，

∵∠PMC=90°=∠CNM，∠MCP=∠MCN，

∴△MCN∽△NCP，

∴CM2=CNCP，

∴3x2=x×CP，

∴CP=x，

∴

∴AB=BP，故②符合題意；

∵PN=CP﹣CN=x-x =x，

∵沿著MP折疊，使得AM與EM重合，

∴BP=PG=x，

∴PN=PG，故③符合題意；

∵AD∥BC，

∴∠AMP=∠MPC，

∵沿著MP折疊，使得AM與EM重合，

∴∠AMP=∠PMF，

∴∠PMF=∠FPM，

∴PF=FM，故④不符合題意，

如圖，

∵沿著MP折疊，使得AM與EM重合，

∴AB=GE=x，BP=PG=x，∠B=∠G=90°

∴，

∵，

∴，且∠G=∠D=90°，

∴△PEG∽△CMD，故⑤符合題意，

綜上：①②③⑤符合題意，共4個，

故選：B．