Question

【題目】王華在學習相似三角形時，在北京市義務教育課程改革實驗教材第17冊書，第31頁遇到這樣一道題：

如圖1，在△ABC中，P是邊AB上的一點，聯結CP．

要使△ACP∽△ABC，還需要補充的一個條件是____________，或_________．

請回答：

（1）王華補充的條件是____________________，或_________________．

（2）請你參考上面的圖形和結論，探究、解答下面的問題：

如圖2，在△ABC中，∠A=30°，AC2= AB2+AB．BC．

求∠C的度數．

Answer 1

【答案】∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB），或AC2=APAB；（1）∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC2=APAB；理由見解析；（2）50°．

【解析】

試題分析：（1）由∠A=∠A，當∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；或時，△ACP∽△ABC；

（2）延長AB到點D，使BD=BC，連接CD，由已知條件得出證出，由∠A=∠A，證出△ACB∽△ADC，得出對應角相等∠ACB=∠D，再由等腰三角形的性質和三角形內角和定理得出∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，得出∠ACB=50°即可．

試題解析：∵∠A=∠A，

∴當∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；

或，即AC2=APAB時，△ACP∽△ABC；

（1）王華補充的條件是：∠ACP=∠B（或∠APC=∠ACB）；或AC2=APAB；理由如下：

∵∠A=∠A，

∴當∠ACP=∠B，或∠APC=∠ACB；

或，即AC2=APAB時，△ACP∽△ABC；

（2）延長AB到點D，使BD=BC，連接CD，如圖所示：

∵AC2=AB2+ABBC=AB（AB+BC）=AB（AB+BD）=ABAD，

∴，

又∵∠A=∠A，∴△ACB∽△ADC，

∴∠ACB=∠D，

∵BC=BD，

∴∠BCD=∠D，

在△ACD中，∠ACB+∠BCD+∠D+∠A=180°，

∴3∠ACB+30°=180°，

∴∠ACB=50°．