Question

【題目】已知拋物線y=a（x+3）（x﹣1）（a≠0），與x軸從左至右依次相交于A、B兩點，與y軸相交于點C，經過點A的直線y=﹣ x+b與拋物線的另一個交點為D．

（1）若點D的橫坐標為2，求拋物線的函數解析式；
（2）若在第三象限內的拋物線上有點P，使得以A、B、P為頂點的三角形與△ABC相似，求點P的坐標；
（3）在（1）的條件下，設點E是線段AD上的一點（不含端點），連接BE．一動點Q從點B出發，沿線段BE以每秒1個單位的速度運動到點E，再沿線段ED以每秒 個單位的速度運動到點D后停止，問當點E的坐標是多少時，點Q在整個運動過程中所用時間最少？

Answer 1

【答案】
（1）

解：∵y=a（x+3）（x﹣1），

∴點A的坐標為（﹣3，0）、點B兩的坐標為（1，0），

∵直線y=﹣ x+b經過點A，

∴b=﹣3 ，

∴y=﹣ x﹣3 ，

當x=2時，y=﹣5 ，

則點D的坐標為（2，﹣5 ），

∵點D在拋物線上，

∴a（2+3）（2﹣1）=﹣5 ，

解得，a=﹣ ，

則拋物線的解析式為y=﹣ （x+3）（x﹣1）=﹣ x2﹣2 x+3

（2）

解：如圖1中，作PH⊥x軸于H，設點 P坐標（m，n），

當△BPA∽△ABC時，∠BAC=∠PBA，

∴tan∠BAC=tan∠PBA，即 = ，

∴ = ，即n=﹣a（m﹣1），

∴ 解得m=﹣4或1（舍棄），

當m=﹣4時，n=5a，

∵△BPA∽△ABC，

∴ = ，

∴AB2=ACPB，

∴42= ，

解得a=﹣ 或 （舍棄），

則n=5a=﹣ ，

∴點P坐標（﹣4，﹣ ）．

當△PBA∽△ABC時，∠CBA=∠PBA，

∴tan∠CBA=tan∠PBA，即 = ，

∴ = ，

∴n=﹣3a（m﹣1），

∴ ，

解得m=﹣6或1（舍棄），

當m=﹣6時，n=21a，

∵△PBA∽△ABC，

∴ = ，即AB2=BCPB，

∴42= ，

解得a=﹣ 或 （不合題意舍棄），

則點P坐標（﹣6，﹣3 ），

綜上所述，符合條件的點P的坐標（﹣4，﹣ ）和（﹣6，﹣3 ）

（3）

解：如圖2中，作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，

則tan∠DAN= = = ，

∴∠DAN=60°，

∴∠EDF=60°，

∴DE= = EF，

∴Q的運動時間t= + =BE+EF，

∴當BE和EF共線時，t最小，

則BE⊥DM，此時點E坐標（1，﹣4 ）

【解析】（1）根據二次函數的交點式確定點A、B的坐標，進而求出直線AD的解析式，接著求出點D的坐標，將D點坐標代入拋物線解析式確定a的值；（2）由于沒有明確說明相似三角形的對應頂點，因此需要分情況討論：①△ABC∽△BAP；②△ABC∽△PAB；（3）作DM∥x軸交拋物線于M，作DN⊥x軸于N，作EF⊥DM于F，根據正切的定義求出Q的運動時間t=BE+EF時，t最小即可．