Question

【題目】如圖，AB，CD是圓O的直徑，AE是圓O的弦，且AE∥CD，過點C的圓O切線與EA的延長線交于點P，連接AC．

（1）求證：AC平分∠BAP；

（2）求證：PC2=PAPE；

（3）若AE-AP=PC=4，求圓O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）5.

【解析】

（1）OA=OC，則∠OCA=∠OAC，CD∥AP，則∠OCA=∠PAC，即可求解；

（2）證明△PAC∽△PCE，即可求解；

（3）利用△PAC∽△CAB、PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，即可求解．

解：（1）∵OA=OC，∴∠OCA=∠OAC，

∵CD∥AP，

∴∠OCA=∠PAC，

∴∠OAC=∠PAC，

∴AC平分∠BAP；

（2）連接AD，

∵CD為圓的直徑，

∴∠CAD=90°，

∴∠DCA+∠D=90°，

∵CD∥PA，

∴∠DCA=∠PAC，

又∠PAC+∠PCA=90°，

∴∠PAC=∠D=∠E，

∴△PAC∽△PCE，

∴，

∴PC2=PAPE；

（3）AE=AP+PC=AP+4，

由（2）得16=PA（PA+PA+4），

PA2+2PA-8=0，解得，PA=2，

連接BC，

∵CP是切線，則∠PCA=∠CBA，

Rt△PAC∽Rt△CAB，

，而PC2=AC2-PA2，AC2=AB2-BC2，

其中PA=2，

解得：AB=10，

則圓O的半徑為5．