Question

如圖①，△ABC與△DEF為等腰直角三角形，CB與EF重合，AC=DE=8,∠ACB=∠DEF=90°固定△ABC，將△DEF繞點C順時針旋轉，當邊FE與邊CA重合時，旋轉終止。設FE、FD（或它的延長線）分別交AB（或它的延長線）于點P、Q，如圖②
（1）問：始終與△CPB相似的三角形(不添加其他輔助線)有①      及②        
（2）設BP=，AQ=，求關于的函數關系式；
（3）問：當為何值時，△CPQ是等腰三角形？

Answer 1

1、（1） △CPQ（2） △ ACQ；2、；3、或8或

解： 1、（1） △CPQ（2） △ ACQ     ……………………………..2分
2、∵△CPB∽△QCA
∴
∴∴…………………………………………………………6分
3、情況一、當PB=時，P點為BC的中點，Q點與B點重合時，CP=PQ
△CPQ為等腰三角形,PB=……………………………………………. 8分
情況二、如圖，當∵∠CPB=∠BCP=67.5^O∴PB=BC=8.時 △CPQ為等腰三角形其中CP="CQ"
………………………………..10分
情況三、當PB=AB，P與A重合， Q為AB的中點時，△CPQ為等腰三角形其中
PQ=CQ.,PB=……………………………………………………………12分
∴當或8或時△CPQ為等腰三角形
此題通過圖形的旋轉，考核相似三角形的判定和性質，等腰三角形的判定以及反比例函數等知識的綜合應用