Question

【題目】如圖所示，AC⊥AB，AB=2 ，AC=2，點D是以AB為直徑的半圓O上一動點，DE⊥CD交直線AB于點E，設∠DAB=α（0°＜α＜90°）．
（1）當α=18°時，求 的長；
（2）當α=30°時，求線段BE的長；
（3）若要使點E在線段BA的延長線上，則α的取值范圍是（直接寫出答案）

Answer 1

【答案】
（1）解：連接OD，

∵α=18°，

∴∠DOB=2α=36°，

∵AB=2 ，

∴⊙O的半徑為： ，

∴ 的長為： = π

（2）解：∵AB是⊙O的直徑，

∴∠ADB=90°，

∵α=30°，

∴∠B=60°，

∵AC⊥AB，DE⊥CD，

∴∠CAB=∠CDE=90°，

∴∠CAD=90°﹣α=60°，

∴∠CAD=∠B，

∵∠CDA+∠ADE=∠ADE+∠BDE=90°，

∴∠CDA=∠BDE，

∴△ACD∽△BED，

∴ ，

∵AB=2 ，α=30°，

∴BD= AB= ，

∴AD= =3，

∴ ，

∴BE= ；

經檢驗，BE= 是原分式方程的解

（3）60°＜α＜90°
【解析】解：（3）如圖，當E與A重合時， ∵AB是直徑，AD⊥CD，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∴C，D，B共線，
∵AC⊥AB，
∴在Rt△ABC中，AB=2 ，AC=2，
∴tan∠ABC= = ，
∴∠ABC=30°，
∴α=∠DAB=90°﹣∠ABC=60°，
當E′在BA的延長線上時，如圖，可得∠D′AB＞∠DAB＞60°，
∵0°＜α＜90°，
∴α的取值范圍是：60°＜α＜90°．
所以答案是：60°＜α＜90°．


【考點精析】認真審題，首先需要了解圓周角定理(頂點在圓心上的角叫做圓心角;頂點在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個交點的角叫做圓周角;一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半)，還要掌握弧長計算公式(若設⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的弧長為l，則l=nπr/180;注意：在應用弧長公式進行計算時，要注意公式中n的意義．n表示1°圓心角的倍數，它是不帶單位的)的相關知識才是答題的關鍵．