Question

【題目】在ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在CD上，CF=AE，連接BF，AF．

（1）求證：四邊形BFDE是矩形；
（2）若AD=DF，求證：AF平分∠BAD．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，

∴AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，

∵CF=AE，

∴DF=BE，

∴四邊形BFDE是平行四邊形，

∵DE⊥AB，

∴∠DEB=90°，

∴四邊形BFDE是矩形．

（2）證明：由（1）可知AB∥CD，

∴∠BAF=∠AFD，

∵AD=DF，

∴∠DAF=∠AFD，

∴∠BAF=∠DAF，

即AF平分∠BAD．

【解析】（1）根據四邊形ABCD是平行四邊形，得到AB=CD，AB∥CD，即BE∥DF，由CF=AE，得到DF=BE，即四邊形BFDE是平行四邊形，由DE⊥AB，得到四邊形BFDE是矩形．（2）由（1）可知AB∥CD，得到∠BAF=∠AFD，又有AD=DF，得到∠DAF=∠AFD，∠BAF=∠DAF，即AF平分∠BAD．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解角平分線的性質定理的相關知識，掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上，以及對平行四邊形的性質的理解，了解平行四邊形的對邊相等且平行；平行四邊形的對角相等，鄰角互補；平行四邊形的對角線互相平分．