Question

如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2．點O是AC的中點，過點O的直線l與AB邊相交于點D．過點C作CE∥AB交直線l于點E，設∠AOD=α．
（1）當α等于多少度時，四邊形EDBC是等腰梯形？并求此時AD的長；
（2）當α=90°時，判斷四邊形EDBC是否為菱形，并說明理由．

Answer 1

（1）解法一：當∠α=30°時，四邊形EDBC是等腰梯形．（1分）
當∠α=30°時，∠EDB=60°，
在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，BC=2，
∴∠A=30°，AB=4，（2分）
在等腰梯形EDBC中，過點C作DB的垂線CF，
則BF=

1

2

BC=1，
∴DB=1+1+EC，（3分）
所以AB=AD+DB=AD+2+EC，又AD=EC，
所以AB=2+2AD，即4=2+2AD，所以AD=1（4分）
解法二：當∠α=30°時，四邊形EDBC是等腰梯形．（1分）
∴ED=BC=2
∵CE∥AB
∴∠A=∠ECA
∵點O是AC的中點
∴OA=OC
又∵∠α=∠EOC
∴△EOC≌△DOA（2分）
∴OD=OE=

1

2

ED=1（3分）
∵∠A=∠α=30°
∴AD=OD=1；（4分）

（2）當∠α=90°時，四邊形EDBC是菱形．
證明：∵∠α=∠ACB=90°，∴BC∥ED．
∵CE∥AB，∴四邊形EDBC是平行四邊形．（5分）
在Rt△ABC中，由（1）中解法一知：AB=4，由勾股定理得：AC=2

3

，
∴AO=

1

2

AC=

3

，
∵∠α=∠ACB=90°
∴OD∥BC，
∵O為AC中點，
∴OD是△ABC的中位線，
∴AD=

1

2

AB=2
∴BD=4-2=2，
∴BD=BC=2，（7分）
∴平行四邊形EDBC是菱形．（8分）