Question

【題目】如圖，已知A，B兩點分別在x軸和y軸的正半軸上，連接AB與反比例函數的圖象交于C、D兩點.

(1)當0A＝6，OB＝3，點D的橫坐標為2時，則k＝____，=_______.

(2)當0A＝a，OB＝b時，請猜測AC與BD之間的數量關系，并說明理由.

(3)如圖，以D為頂點且過點O的拋物線分別交函數的圖像和x軸于點E、F，連接CF，設=m..

①若∠AFC＝90°，則m的值為多少？

②若∠ACF＝90°，且m＞時，請用含m的代數式表示tan∠BAO的值.

Answer 1

【答案】(1)4，1；(2)AC=BD；(3)①m=；②tan∠BAO=(m>)

【解析】

（1）先求出點A，點B的坐標，再代入解析式y=k1x+b，解出k1，b的值，得出解析式；得出點D的坐標，再代入反比例函數即可得出k的值

(2) 設直線AB的解析式為y=mx+n，根據A,B坐標即可得出直線AB的解析式為y=-x+b，聯立直線AB的解析式與反比例函數的解析式，化簡整理，得bx2-abx+ab=0；易證DR∥x軸，從而∠BDR=∠CAP，根據ASA即可證明△BDR≌△CAP，即可得證.

（3）①過點D作DQ⊥x軸于Q，根據拋物線的軸對稱性即可得解；

②分別過C、D兩點作x軸的垂線，垂足分別記為P、Q，易證△CPA∽△FCA，根據相似三角形的性質和勾股定理即可解出.

(1) 0A＝6，OB＝3

A（6，0），B（0，3）

設直線AB解析式為:y=k1x+b，

將A,B兩點坐標代入解析式得

解得

直線AB解析式為:y=-x+3

D的橫坐標為2，即x=2，代入y=-x+3，得y=2

點D的坐標為（2，2）

將D（2，2）代入

解得：k=4，

=1；

(2)AC=BD.理由如下：

∵OA=a，OB=b，

∴A(a，0)，B(0，B).

設直線AB的解析式為y=mx+n，分別將A、B的坐標代入直線AB的解析式中，得

，

解得m=-，n=b，故直線AB的解析式為y=-x+b.

聯立直線AB的解析式與反比例函數的解析式，得①②

將②代入①中，得，

化簡整理，得bx2-abx+ab=0.

設D、C的橫坐標分別為xD、xC，由于b＞0，所以xD、xC是關于x的一元二次方程bx2-abx+ab=0的兩個根.

根據韋達定理，得xD+xC=-=a③.

圖3

如圖3，分別過C、D兩點作x軸的垂線，垂足分別記為P、Q，過點D作DR⊥y軸于R.

顯然四邊形DROQ為矩形，從而RD=OQ.

由③可得，xD=a-xC，而xD =OQ， a-xC =PA，所以OQ=PA，進而RD=PA.

顯然DR∥x軸，從而∠BDR=∠CAP.

在△BDR與△CAP中，有

,

∴△BDR≌△CAP(ASA)，

∴BD=CA，即AC=BD，至此結論得證.

(3)①如圖4，過點D作DQ⊥x軸于Q，則由(2)可知OQ=FA.

圖4

由于D為拋物線的頂點，則根據拋物線的軸對稱性可知，OQ=QF，從而OQ=QF=FA，

所以m==.

②如圖5，分別過C、D兩點作x軸的垂線，垂足分別記為P、Q.

圖5

設OF=t，則AF=mt，根據拋物線的軸對稱性可知，OQ=OF=.

由(2)可知，PA=OQ=.

在Rt△CPA與Rt△FCA中，有，則△CPA∽△FCA，

從而，即

在Rt△ACF中，CF2=FA2-CA2=（m>）

所以tan∠BAO= tan∠CF===（m>）.