Question

【題目】將一個直角三角形紙片，放置在平面直角坐標系中，點，點，點

(I)過邊上的動點 (點不與點，重合)作交于點，沿著折疊該紙片，點落在射線上的點處．

①如圖，當為中點時，求點的坐標；

②連接，當為直角三角形時，求點坐標：

(Ⅱ)是邊上的動點(點不與點重合)，將沿所在的直線折疊，得到，連接，當取得最小值時，求點坐標(直接寫出結果即可)．

Answer 1

【答案】（I）①；②點坐標為或；（II）

【解析】

（I）①過點E做EH⊥OA ，交OA于點H，由D為OB中點結合DE∥OA，可得出DE為△BOA的中位線，再根據點A、B的坐標即可得出點E的坐標；

②根據折疊的性質結合角的計算可得出∠AEF=60°≠90°，分∠AFE=90°和∠EAF=90°兩種情況考慮，利用含30度角的直角三角形以及勾股定理即可求出點E的坐標；

（II）根據三角形的三邊關系，找出當點A′在y軸上時，BA′取最小值，根據折疊的性質可得出直線OP的解析式，再根據點A、B的坐標利用待定系數法求出直線AB的解析式，聯立兩直線解析式成方程組，解之即可得出點P的坐標．

（I）過點E做EH⊥OA ，交OA于點H，

①∵， ，

∴．

∵為中點，

∴D點的坐標為，

∴為的中位線，

∴點為線段的中點，

又∵，

∴EH為的中位線，

∴點H為線段OA的中點，

∴點H的坐標為，

∴點的坐標為．

②∵點，點，

∴，OB=3

∴，

∴∠B=30°，

由折疊可知:．

∴，

∴．

∵是直角三角形，

∴或

（i）當時，如圖1所示

．

在中，，

∴，，

∵，

∴，．

在中， ，．

∴，

∵，

∴，．

∵．

∴點的坐標為；

(ii)當時，如圖2所示．

∵，

∴，

∴．

在中， ，，

∴，

∵，

∴，．

在中， ， ，

∴，

∵，

∴，

∵，

∴點的坐標為．

綜上所述:當為直角三角形時，點坐標為或．

（II）由折疊可知:，

∴，，

又∵，

∴當點在軸上時，取最小值，如圖3所示．

∵

∴

∴直線的解析式為

設直線的解析式為，

將、代入中，

，解得：，

∴直線的解忻式為．

聯立直線、的解析式成方程組，

，解得：，

∴．當取得最小值時，點坐標為．