Question

【題目】在平面直角坐標系中，我們定義：橫坐標與縱坐標均為整數的點為整點如圖，已知雙曲線經過點，記雙曲線與兩坐標軸之間的部分為(不含雙曲線與坐標軸)．

（1）求的值；

（2）求內整點的個數；

（3）設點在直線上，過點分別作平行于軸軸的直線，交雙曲線于點，記線段、雙曲線所圍成的區域為，若內部(不包括邊界)不超過個整點，求的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）內整點的個數為個；（3）若內部(不包括邊界)不超過個整點，

【解析】

（1）利用待定系數法即可求解；

（2）將G內x=1，2，3，4分別代入雙曲線，即可求出整點；

（3）根據m的情況進行分類討論，具體見解析．

（1）∵經過點A(2，2)，

∴，

∴，

（2）對于雙曲線 ，

當時，，

在直線上，當0時，有整點（1，1）、（1，2）、（1，3），

當時，，

在直線上，當0時，有整點（2，1），

當時，，

在直線上，當0時，有整點（3，1），

當時，，

在直線上，當0時，沒有整點．

∴G內整點的個數為5個．

（3）如圖，當時，點B（4，4）， 點C（1，4）此時在區域W內(不包含邊界)有（2，3）、（3，2）、（3，3）共3個整點，線段BD上有4個整點，線段BC上有4個整點，

∵點（4，4）重合，點（4,1）（1,4）在邊界上，

∴當時，區域W內至少有3+4+4-3=8個整點，

當時，B'（4.5，5），C（），

線段B'C'上有4個整點，此時區域W內整點個數為8個，

當時，區域W內部整點個數增加，

若W內部(不包括邊界)不超過8個整點，．