Question

【題目】如圖，中，，，將繞點順時針旋轉得到，當點、、三點共線時，旋轉角為，連接，交于點，下面結論：①為等腰三角形；②；③；④；⑤中，正確結論的個數是（ ）

A.2個B.3個C.4個D.5個

Answer 1

【答案】C

【解析】

首先根據旋轉性質得出，從而對結論①進行判斷，然后通過對三角形內部角度之間的計算進一步對結論④進行判斷，再后通過證明∠=∠BDC，∠=∠BCD對結論②進行判斷，再者進一步求出∠的度數，由此判斷結論③，最后過點D作DM⊥，通過證明△ABD~△，利用相似三角形性質進一步分析結論⑤，據此即可得出答案.

由旋轉性質可知：，

∴為等腰三角形，即①正確；

∵∠ACB=30°，

∴∠=∠=30°，

又∵∠=∠BAC=45°，

∴∠=75°，

∴∠=180°75°30°=75°，

∴CA=，即④正確；

∵∠BAC=45°，

∴∠=45°+75°=120°，

∵=AB，

∴∠=∠ABD=30°，

在△與△BCD中，

∵∠=∠BDC，∠=∠BCD=30°，

∴△~△BCD，即②正確；

∵∠=∠+∠=120°，

∴旋轉角，即③錯誤；

在△ABD與△中，

∵∠ABD=∠，∠ADB=∠，

∴△ABD~△，

∴，

如圖，過點D作DM⊥，

設DM=，則，，，，

∴AC=，

∴AD=，

∴，即⑤正確；

綜上所述，共4個正確，

故選：C.