Question

【題目】如圖，在直角坐標系中，點A（0，4），B（-3，4），C（-6，0），動點P從點A出發以1個單位/秒的速度在y軸上向下運動，動點Q同時從點C出發以2個單位/秒的速度在x軸上向右運動，過點P作PD⊥y軸，交OB于D，連接DQ．當點P與點O重合時，兩動點均停止運動．設運動的時間為t秒．

（1）當t=1時，求線段DP的長；

（2）連接CD，設△CDQ的面積為S，求S關于t的函數解析式，并求出S的最大值；

（3）運動過程中是否存在某一時刻，使△ODQ與△ABC相似？若存在，請求出所有滿足要求的t的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）S=，當時，S最大值=4；（3）和

【解析】試題分析：（1）先由題意得到OA=4，AB=3，CO=6，再求出當t=1時，AP、OP的長，最后根據PD⊥y軸，AB⊥y軸，結合平行線分線段成比例即可列比例式求解；

（2）作DE⊥CO于點E，分別用含t的字母表示出CQ、AP、OP，即可表示出DE的長，再根據三角形的面積公式即可得到S關于t的函數解析式，根據二次函數的性質即可求得S的最大值；

（3）分和兩種情況，結合相似三角形的判定方法討論即可.

（1）由A（0，4），B（-3，4），C（-6，0）可知OA=4，AB=3，CO=6，

當t=1時，AP=1，則OP=3，

∵PD⊥y軸，AB⊥y軸

∴PD∥AB

∴

∴

解得DP=；

（2）CQ=2t，AP=t，OP=4–t

作DE⊥CO于點E，則DE=OP=4–t

∴S==×2t×(4–t)=

當時，S最大值=4

（3）分兩種情況討論：

①當時，點Q在CO上運動（當t=3時，△ODQ不存在）

∵AB∥CO

∴∠BOC=∠ABO<∠ABC

可證得BO=BC

∴∠BOC=∠BCO>∠BCA

∵AB∥CO

∴∠BAC=∠ACO<∠BCO=∠BOC

∴當時，△ODQ與△ABC不可能相似。

②當時，點Q在x軸正半軸上運動，

延長AB，由AB∥CO可得∠FBC=∠BCO=∠BOC，

∴∠ABC=∠DOQ

OQ=，由DPAB可得OD=

當時，

，在內；

當時，

，在內；

∴存在和，使△ODQ與△ABC相似。