Question

7．如圖，△ABC中，∠A=90°，∠C=30°，BC=12cm，把△ABC繞著它的斜邊中點P逆時針旋轉90°至△DEF的位置，DF交BC于點H．△ABC與△DEF重疊部分的面積為（　　）cm²．

• A． 8
• B． 9
• C． 10
• D． 12

Answer 1

分析 如圖，由點P為斜邊BC的中點得到PC=$\frac{1}{2}$BC=6，再根據旋轉的性質得PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，根據含30度的直角三角形三邊的關系，在Rt△PFH中計算出PH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF=2$\sqrt{3}$；在Rt△CPM中計算出PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC=2$\sqrt{3}$，且∠PMC=60°，則∠FMN=∠PMC=60°，于是有∠FNM=90°，FM=PF-PM=6-2$\sqrt{3}$，則在Rt△FMN中可計算出MN=$\frac{1}{2}$FM=3-$\sqrt{3}$，FN=$\sqrt{3}$MN=3$\sqrt{3}$-3，然后根據三角形面積公式和利用△ABC與△DEF重疊部分的面積=S_△FPH-S_△FMN進行計算即可．

解答 解：如圖，
∵點P為斜邊BC的中點，
∴PB=PC=$\frac{1}{2}$BC=6，
∵△ABC繞著它的斜邊中點P逆時針旋轉90°至△DEF的位置，
∴PF=PC=6，∠FPC=90°，∠F=∠C=30°，
在Rt△PFH中，∵∠F=30°，
∴PH=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PF=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×6=2$\sqrt{3}$，
在Rt△CPM中，∵∠C=30°，
∴PM=$\frac{\sqrt{3}}{3}$PC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$×6=2$\sqrt{3}$，∠PMC=60°，
∴∠FMN=∠PMC=60°，
∴∠FNM=90°，
而FM=PF-PM=6-2$\sqrt{3}$，
在Rt△FMN中，∵∠F=30°，
∴MN=$\frac{1}{2}$FM=3-$\sqrt{3}$，
∴FN=$\sqrt{3}$MN=3$\sqrt{3}$-3，
∴△ABC與△DEF重疊部分的面積=S_△FPH-S_△FMN
=$\frac{1}{2}$×6×2$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（3-$\sqrt{3}$）（3$\sqrt{3}$-3）
=9（cm²）．
故選：B．

點評 本題考查了旋轉的性質：對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角；旋轉前、后的圖形全等．也考查了含30度的直角三角形三邊的關系．