Question

【題目】如圖，已知⊙O是△ABC的外接圓，且BC為⊙O的直徑，在劣弧上取一點D，使，將△ADC沿AD對折，得到△ADE，連接CE．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）若CEC D，劣弧的弧長為π，求⊙O的半徑．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）圓的半徑為3．

【解析】

（1）在△ACE中，根據三角形內角和為180°，則2α+2β+2γ＝180°，即可求解；

（2）證明四邊形AMCN為矩形，，而AB=x，則

sin∠ABM=，即∠ABM=60°，即可求解．

（1）∵，∴∠CAD＝∠BCA＝α＝∠EAD，

設：∠DCA＝∠DEA＝β，∠DCE＝∠DEC＝γ，

則△ACE中，根據三角形內角和為180°，

∴2α+2β+2γ＝180°，

∴α+β+γ＝90°，

∴CE是⊙O的切線；

（2）過點A作AM⊥BC，延長AD交CE于點N，

則DN⊥CE，∴四邊形AMCN為矩形，

設：AB＝CD＝x，則CEx，

則CNCEx＝AM，而AB＝x，

則sin∠ABM，∴∠ABM＝60°，

∴△OAB為等邊三角形，即∠AOB＝60°，

2πr＝π，

解得：r＝3，

故圓的半徑為3．