Question

【題目】如圖，半圓O的直徑AB=4，以長為2的弦PQ為直徑，向點O方向作半圓M，其中P點在AQ（弧）上且不與A點重合，但Q點可與B點重合.

發現 AP（弧）的長與QB（弧）的長之和為定值l，求l；

思考 點M與AB的最大距離為_______，此時點P，A間的距離為_______；點M與AB的最小距離為________，此時半圓M的弧與AB所圍成的封閉圖形面積為________.

探究 當半圓M與AB相切時，求AP（弧）的長.

（注：結果保留π，cos 35°=，cos 55°=）

Answer 1

【答案】（1）；（2），2，，；（3）弧AP的長為.

【解析】

試題分析：發現：連結OP，OQ，可得OP=OQ=PQ=2，即可得OP=OQ=PQ=2，根據弧長公式求得弧BC的長度，用半圓的弧長減去弧BC的長即可求得l的長；思考：當OM⊥AB時， 點M與AB的最大距離就是OM，△AOP是等邊三角形，利用垂徑定理和勾股定理即可得OM和PA的長，當Q與B重合點，點M與AB的距離最小，利用三角形的三邊關系即可求得答案；探究：半圓M與AB相切，分兩種情況①半圓M與AO切于點T時和②半圓M與BO切于點S時，分別求得弧AP的長即可.

試題解析：發現：連結OP，OQ，則OP=OQ=PQ=2.

∴∠POQ=60°，∴弧BC的長=.

∴.

思考：，2，，.

探究：半圓M與AB相切，分兩種情況：

①如圖1，半圓M與AO切于點T時，連結PO,MO,TM.

則MT⊥AO，OM⊥PQ，

在Rt△POM中，sin∠POM=，

∴∠POM=30°，

在Rt△TOM中，TO=，

∴cos∠AOM=，即∠AOM=35°，

∴∠POA=35°-30°=5°.

∴弧AP的長=.

②如圖2，半圓M與BO切于點S時，連結PO,MO,SM..

根據圓的對稱性，同理得弧BQ的長為，

由得弧AP的長為.

綜上，弧AP的長為.