Question

【題目】如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D、E在線段BC上，且BE＝CD，連接AD、AE，過點D作DF⊥AE，垂足為H，交AC于點F，過點E作EG⊥AC，垂足為G．

（1）若DH＝4，AD＝5，HF＝1，求AF的長；

（2）若∠BAC＝90°，求證：AF＝2CG．

Answer 1

【答案】（1）AF＝；（2）見解析.

【解析】

（1）在Rt△ADH中，根據勾股定理可以求得AH的長，繼而在Rt△AHF中，利用勾股定理求得AF長即可；

（2）作DM⊥AC于M，證明△ABE≌△ACD，△DAM≌△AEG，繼而可得△GEC是等腰直角三角形，再等腰三角形的性質即可得.

（1）在Rt△ADH中，∵AD＝5，DH＝4，

∴AH＝＝3，

在Rt△AHF中，AF＝；

（2）作DM⊥AC于M，

∵AB＝AC，∠BAC＝90°，

∴∠B＝∠C＝45°

∵BE＝CD，

∴△ABE≌△ACD，

∴AD＝AE，∠BAE＝∠CAD，

∴∠CAE＝∠BAD，

∵AE⊥DF，

∴∠AHF＝90°，

∵∠DAF＝90°﹣∠BAD，∠DFA＝90°﹣∠CAE，

∴∠DAF＝∠DFA，

∴DA＝DF，

∴AE＝AD，

∵AB∥DM，∴∠ADM＝∠BAD＝∠EAG，

∵∠AMD＝∠AGE＝90°，

∴△DAM≌△AEG，

∴AM＝GE，

∵∠C＝45°，EG⊥AC，

∴△GEC是等腰直角三角形，

∴EG＝CD，

∵AD＝DF，DM⊥AF，

∴AM＝FM，

∴AF＝2CG．